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高中数学必修第三册（B版）目录

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第七章

7.2 任意角的三角函数

第八章

向量的数量积与三角恒等变换

本书拓展阅读目录

更多三角函数及关系式

向量的数量积与三角形的面积

正弦型函数与信号处理

知识点总结

三角函数

1.正弦函数图像（几何法）

2.正切函数图像

3.三角函数的图像与性质

4.主要研究方法

5.主要内容

三角函数解题技巧

三角函数是高考数学核心考点之一。它侧重于考查学生的观察能力、思维能力和综合分析能力，在高考试题中始终保持"一大一小"甚至是"一大两小"的模式。

一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式一步到位转换到区间(-90o，90o)的公式.

1、sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)；

2、cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)；

3、 tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)；

4、cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).

二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”

1、sinα+cosα>0(或

2、sinα-cosα>0(或

3、|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内；

4、|sinα|

三、见“知1求5”问题，造Rt△，用勾股定理，熟记常用勾股数(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，仍然注意“符号看象限”。

四、见“切割”问题，转换成“弦”的问题。

五、“见齐思弦”=>“化弦为一”：已知tanα，求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α.

六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：

1、sin(α+β)sin(α-β)= sin2α-sin2β；

2、 cos(α+β)cos(α-β)= cos2α-sin2β.

七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，起用平方法则：

(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α，故

1、若sinα+cosα=t，(且t2≤2)，则2sinαcosα=t2-1=sin2α；

2、若sinα-cosα=t，(且t2≤2)，则2sinαcosα=1-t2=sin2α.

八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式：

tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=？？？

九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0)

1、函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称；

2、函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称；

3、同样，利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。

十、见“求最值、值域”问题，启用有界性，或者辅助角公式：

1、|sinx|≤1，|cosx|≤1；

2、(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ)≤(a2+b2)；

3、asinx+bcosx=c有解的充要条件是a2+b2≥c2.

十一、见“高次”，用降幂，见“复角”，用转化.

1、cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1.

2、2x=(x+y)+(x-y)；

2y=(x+y)-(x-y)；x-w=(x+y)-(y+w)等。

正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数统称为三角函数。它们的地位和作用与一次函数、二次函数、幂函数、指数函数以及对数函数一样，都是基本初等函数。

任意角 知识点

弧度制 知识点

定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符合rad表示，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数为0。

角度与弧度的换算：

360o=2π rad 180o=π rad

弧度制及其与角度制的换算

任意角的三角函数

三角函数，

Rt△ABC三边分别为a，b，c，正弦、余弦、正切这三个最基本的公式相信大家应该比较熟悉了。

三角函数的求解常常涉及到坐标系。所以我们将其放到坐标系中，接下来要讲的是任意角的三角函数在四个象限内的符号的判断。

首先建立一个直角坐标系，以原点为圆心画一个单位圆，单位圆就是半径为1的圆。在第一象限画一个角度α，与圆交于点B，过B点作x轴的垂线，交点为A。设AB=y, OA=x,

那么，就有

好，接下来看第一象限，

y在y轴正半轴，是+的，x在x轴正半轴，也是是+的，所以有：

同样的道理，第二象限也有

相应的，第三象限，

第四象限，

单位圆

以原点为圆心，半径为1的圆叫单位圆．

二

单位圆中的三角函数线

三

单位圆中的三角函数线的应用

1

定义三角函数

2

确定角的范围

3

比较三角函数值的大小

4

证明三角不等式

同角三角函数的基本关系式及诱导公式

三角函数图象与性质

一 基础知识

1．用五点法作正弦函数和

余弦函数的简图

2．正弦、余弦、正切函数的

图象与性质

考点一求三角函数的单调区间

考点二考点二 求三角函数的值域（最值）

考点三三角函数的周期性

考点四三角函数的奇偶性

考点五三角函数的对称性

正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

(一)三角函数的性质

正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

正弦函数的性质与图像

正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中的参数A，ω，φ对函数图象变化的影响

如何求A，ω，φ

余弦函数的性质与图像

y=cosx

象限角转一周回到原始位置，所以正弦/余弦的最小正周期是

取5个特殊点，

描成曲线，

延伸成整个定义域上的的图像：

为了方便起见，先研究一个周期内的函数图像和性质，然后扩展到整个定义域上，由

的图像可观察到：

延伸成整个定义域上的的图像之后的性质有：

正切函数的性质与图像

已知三角函数值求角

1、反三角概念：

（1）若sinx=a 则x=arcsina

说明：a>0，arcsina为锐角; a=0,arcsina=0; a

（2） 若cosx=a 则x=arccosa

说明：a>0，arccosa为锐角; a=0,arccosa=90; a

（3）若tanx=a 则x=arctana

说明：a>0，arctana为锐角; a=0,arctana=0; a

如；arcsin,arcsin.

arccos,arctan3>,而arctan(-3)=--arctan3.

而sin(arcsin不存在。

2、反三角关系：

(1) arcsin(-x)=-arcsinax; arctan(-x)=arctanx; arcos(-x)=π-arccosx

由此可知：是匠函数，而非奇非偶。

(2) arcsinx+arccosx=

3、时求角x：

数学建模活动：周期现象的描述

向量的数量积

（1）两个向量的数量积是一个数量，不是向量；

（2）求两个向量的夹角要起点相同，如果不同，要平移至起点相同；

（3）要求模，先平方；

（4）要证明两个非零向量垂直，可以证明它们的数量积为0；

（5）数量积不满足消去律（即不能随便约分）

向量数量积的坐标运算

1、平面向量的坐标表示：

在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量

作为基底，由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量

由于 α 与数对(x,y) 是一一对应的，因此把 (x,y) 叫做向量 α 的坐标，记作 α =(x,y)，其中 x 叫作 α 在 x 轴上的坐标，y 叫做在 y 轴上的坐标 。

(1) 相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量 ；

(2) 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关 。

2、平面向量的坐标运算：

3、两个向量的数量积：

已知两个非零向量

它们的夹角为 θ ，

4、向量的投影：

5、数量积的几何意义：

6、向量的模与平方的关系：

7、两个向量的数量积的坐标运算：

8、向量的夹角：

已知两个非零向量

9、垂直：

10、两个非零向量垂直的充要条件：

二、考点突破

1、向量的坐标运算

例1、如图，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD 与 BE 交于 F，

2、向量共线的条件

例题2、（1）已知向量a＝(sinx,1)，b＝(cosx，－3)，且a∥b，则tanx＝________.

3、平面向量的基本定理

例题3、

(2)如图，在△ABC中，D、E 分别是 BC、AC 的中点，F 为 AB上一点，

（3) 在△ABC中，过中线 AD 的中点 E 任作一条直线分别交 AB、AC 于M、N 两点，

4、向量的数量积

例题4、

[解析]　以 AB 所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

三角恒等变换

01

同角的三大关系

（1）基本识别公式，能结合诱导公式中两个常用的小结论快速进行逻辑判断。“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。互余两角的正余弦相等。”

（2）二倍角公式的灵活应用，特别是降幂、和升幂公式的应用。

（3）结合同角三角函数，化为二次函数求最值

（4）角的整体代换与拆角、拼角技巧

（5）弦切互化与“1”的代换

（6）知一求二

（7）辅助角公式逆向应用

02

诱导公式口诀

【奇变偶不变，符号看象限】

用诱导公式化简，一般先把角化成的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是90度的奇数倍，就是“奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把α看作是锐角，判断角在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是 “＋”还是“－”，就加在前面）。

用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间（0°，360°）的角，再变到区间（0°，180°）的角，再变到区间（0°,90°）的角计算。

03

和角与差角公式

04

二倍角公式

05

公式的逆用和变用

06

合一变形（辅助角公式）

把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的形式。，其中。

07

万能公式

08

“积化和差”与“和差化积”

★ 例题 ★

两角和与差的余弦

倍角公式

思维导图

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