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(共41张PPT)第八章《立体几何初步》人教A版2019必修第二册8.2立体图形的直观图 画出空间几何体的直观图是学生学好立体几何的必要条件。本节课主要是介绍了最常用的、直观性好的斜二测画法。而水平放置的平面图形的直观图画法,是画空间几何体直观图的基础。教学的重点是斜投影画平面图形直观图的方法,即斜二测画法。教材给出了正六边形、长方体、圆柱、圆柱和圆锥组合体直观图的画法。教学时可以适当延伸,讨论正五边形、圆锥、圆台、球的直观图画法。画空间几何体的直观图，了解空间几何体的直观图，有助于提高学生的空间想象能力，是学生学习点、直线、平面之间位置关系的基础。学习目标前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特征．为了将这些空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构，这就需要学习直观图的有关知识．直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形，画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示．因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同．在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形．要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图形．环节一：创设情境，引入课题图8.2-1观察如图8.2-1，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状？环节二：观察分析，感知概念在初中，我们已经学习过投影．一个物体的投影，不仅与这个物体的形状有关，而且还与投影的方式和物体与投影面的位置关系有关．如果一个矩形垂直于投影面，投影线不垂直于投影面，则矩形的平行投影是一个平行四边形（图8.2-2)．利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法．利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其步骤是：ABCD图8.2-3ABCD图8.2-3例1 用斜二侧画法画水平放置的正六边形的直观图.ABCDEFxyOMN问题:你认为画水平放置的多边形的直观图的关键是什么 关键是确定多边形顶点的位置.Q环节三：抽象概括，形成概念ABCDEFOMNxy(1)(2)ABCDEFOMNxy(1)(2)ABCDEFOMNxy(1)(2)(3)思考：在利用斜二测画法画直观图的过程中，x轴和y轴起到了什么作用？图8.2-5画直观图时，除多边形外，还经常会遇到画圆的直观图的问题．生活的经验告诉我们，水平放置的圆看起来非常像椭圆，因此我们一般用椭圆作为圆的直观图．实际画图时常用如图8.2-5所示的椭圆模板．练习（第109页）1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确？正确的在括号内画“√”错误的画“×”．（1）相等的线段在直观图中仍然相等． （ ）（2）平行的线段在直观图中仍然平行． （ ）（3）一个角的直观图仍是一个角． （ ）（4）相等的角在直观图中仍然相等． （ ）（1）×，正方形的邻边相等，但在用斜二测画法画出的直观图中成了2倍关系；（2）√，在斜二测画法中，原图形中平行的线段在直现图中仍然平行；（3）√，虽然角的度数会发生改变，但仍是一个角；（4）×，在水平放置的正方形中相邻的两个角都是直角，但在用斜二测画法画出的直观图中一个为45°，另一个为135°．OBCD(A)xy2．用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）．（1）矩形；（2）平行四边形；（3）正三角形；（4）正五边形．OBCD(A)xyE2．用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）．（1）矩形；（2）平行四边形；（3）正三角形；（4）正五边形．OxyABC2．用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）．（1）矩形；（2）平行四边形；（3）正三角形；（4）正五边形．OABCDEyx2．用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）．（1）矩形；（2）平行四边形；（3）正三角形；（4）正五边形．画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变．下面介绍几种简单几何体的直观图的画法．分析：画棱柱的直观图，通常将其底面水平放置．利用斜二测画法画出底面，再画出侧棱，就可以得到棱柱的直观图．长方体是一种特殊的棱柱，为画图简便，可取经过长方体的一个顶点的三条棱所在直线作为x轴、y轴、z轴．环节四：辨析理解，深化概念O(A)BCDxyzCDABO(A)BCDxyzCDAB注明：画几何体的直观图时，如果不作严格要求，图形尺寸可以适当选取．用斜二测画法画图的角度也可以自定，但要求图形具有一定的立体感．ABOOxzOOSO图8.2-8图8.2-9对于圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线（图8.2-8)．画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆．同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性（图8.2-9)．x’xABOPPABA’B’OO’例4某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合．画出这个组合体的直观图．分析：画组合体的直观图，先要分析它的结构特征，知道其中有哪些简单几何体以及它们的组合方式，然后再画直观图．本题中没有尺寸要求，画图时只需选择合适的大小，表达出该几何体的结构特征就可以了．画法：如图8.2-10，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到组合体的直观图．环节五：课堂练习，巩固运用AOBPxAOBP图8.2-10O’A’(B’)C’D’y’x’典型例题 如图，三角形A’B’C’是水平放置的三角形ABC的直观图，A’B’=B’C’，AD是BC边上的中线，比较(原来的长度)AB、AC、AD、BC的大小关系 xyoA(B)CD答:AC>AD>AB>BC··环节六:归纳总结，反思提升1.水平放置平面图形直观图斜二测画法步骤：画轴取轴——取点——连线成图口诀：横不变纵减半，平行性不变2.空间几何体直观图斜二测画法步骤：画轴——画底面——画侧棱——连线成图口诀：横竖不变纵减半，平行性不变3.三视图与直观图联系，平行投影与中心投影不同表现形式环节七：目标检测，作业布置完成教材：第111页 练习123习题8.2 第2,6题O(A)BxCDyzABCD练习（第111页）1．用斜二测画法画一个棱长为3的正方体的直观图．2．用斜二测画法画一个正六棱柱的直观图．OOxz3．一个简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个半球，并且半球的球心就是圆柱的上底面圆心．画出这个组合体的直观图．习题8.2（第111页）1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确？正确的在括号内画“√”错误的画“×”．（1）三角形的直观图是三角形． ( )（2）平行四边形的直观图是平行四边形． ( )（3）正方形的直观图是正方形． ( )（4）菱形的直观图是菱形． ( )√√××2．用斜二测画法画出下列水平放置的等腰直角三角形的直观图：（1）直角边横向；（2）斜边横向．3．用斜二测画法画出底面边长为2 cm，侧棱长为3 cm的正三棱柱的直观图．4．画底面半径为1 cm，母线长为3 cm的圆柱的直观图．5．一个菱形的边长为4 cm，一内角为60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，试用斜二测画法画出这个菱形的直观图．6．已知一个圆锥由等腰直角三角形旋转形成，画出这个圆锥的直观图．7．立几何体的三视图如图所示，画出这个几何体的直观图．画法几何与蒙日画法几何就是在平面上绘制空间图形，并在平面图上表达出空间原物体各部分的大小、位置以及相互关系的一门学科．它在绘画、建筑等方面有着广泛的应用．画法几何起源于欧洲文艺复兴时期的绘画和建筑技术．意大利艺术家莱奥纳多·达·芬奇(1452一1519)在他的绘画作品中已经广泛地运用了透视理论，主要是中心投影．法国数学家德萨格（1593—1662)在他的“透视法”中给出了空间几何体透视像的画法，以及如何从平面图中正确地计算出几何体的尺寸大小的方法，主要是运用正投影．后来法国数学家蒙日经过深入研究，在1799年出版了《画法几何学》一书．在该书中，蒙日笫一次详细阐述了怎样把空间（三维）物体投影到两个互相垂直的平面上．并根据投影原理（这种原理后来发展成射影几何学）推断出该空间物体的几何性质．蒙日的《画法几何学》不论是在概念上，还是在方法上都有深远的影响．这种方法对于建筑学、军事学、机械制图等方面都有极大的实用价值，从此画法几何就成为一门独立的几何分支学科．蒙日成为画法几何的创始人．蒙日生长在法国大革命时代，他出生于法国东部博祜的一个小商人家庭．16岁时，因为熟练地以比例尺绘出家乡的地图，他被梅济耶尔军事学院聘为绘图员．1768年，蒙日开始在梅济耶尔军事学院教授物理和数学，那时他只有22岁．1780年，他被选为巴黎科学院通讯院士．1783年，他迁居巴黎后，积极投身巴黎的公共事务，曾任度量衡委员会的委员、海军与殖民部长，并参与创办了巴黎综合工科学校和法兰西国家研究院．为了从数据中求出要塞中炮兵阵地的位置．蒙日用几何方法避开了麻烦的计算．他用二维平面上的适当投影来表达三维物体的聪明方法，在实际中有着广泛的应用，并导致画法几何的产生．法国大革命前后，由于军事建筑上的迫切需要，蒙日的画法几何方法被列为军事秘密，所以很久未能公之于世，直到当时的军事约束解除后，蒙日才公布了他的研究成果．这已是他建立画法几何之后30年的事了．

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