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〔〕〔Ａ〕有且只有一个 〔Ｂ〕可能存在也可能不存在〔Ｃ〕有无数多个 〔Ｄ〕一定不存在〔Ｂ〕解析：假设存在，则a⊥b，而由条件知，a不一定与b垂直．372.在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，假设E是A1C1〔Ａ〕AC 〔Ｂ〕BD 〔Ｃ〕A1D 〔Ｄ〕A1D1解析：〔Ｂ〕BD⊥AC，BD⊥CC1，∴BD⊥平面A1ACC1，∴BD⊥CE．373.定点P不在△ABC所在平面内，过P作平面α，使△ABC的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有 〔〕〔Ａ〕１个 〔Ｂ〕２个 〔Ｃ〕３个 〔Ｄ〕４个解析：D过P作一个与AB，AC都平行的平面，则它符合要求；设边AB，BC，CA的中点分别为E，F，G，则平面PEF符合要求；同理平面PFG，平面PGE符合要求374.P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，P到B，C，D三点的距离分别是，，，则P到A点的距离是 〔〕〔Ａ〕１ 〔Ｂ〕２ 〔Ｃ〕 〔Ｄ〕４解析：〔A〕设AB＝a，BC＝b，PA＝h，则a2+h2=5,b2+h2=13,a2+b2+h2=17,∴h=1．375.线段AB的两个端点A，B到平面α的距离分别为6cm,9cm,P在线段AB上，AP：PB＝１：２，则P到平面α的距离为．解析：７cm或１cm．分A，B在平面α的同侧与异侧两种状况．同侧时，P到平面α的距离为＝７〔cm〕，异侧时，P到平面α的距离为＝１〔cm〕．376.△ABC的三个顶点A，B，C到平面α的距离分别为2cm,3cm,4cm,且它们在α的同一侧，则△ABC的重心到平面α的距离为．解析：3cm．＝3cm．377.Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝６，BC＝８，EC⊥平面ABC，且EC＝１２，则ED＝．解析：１３．AB＝１０，∴CD＝５，则ED＝＝１３．378.如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，求：〔１〕A1B与平面A1B1CD所成的角；〔２〕B1B在平面A1C1解析：求线面成角，一定要找准斜线在平面内的射影．〔１〕先找到斜足A1，再找出B在平面A1B1CD内的射影，即从B向平面A1B1CD作垂线，一定要证实它是平面A1B1CD的垂线．这里可证BC1⊥平面A1B1CD，O为垂足，∴A1O为A1B在平面A1B1CD上的射影．〔２〕假设将平面D1D1BB竖直放置在正前方，则A1C1横放在正前方，估计B1B在平面A1C1B内的射影应落在O1B上，这是因为A1C1⊥平面D1DBB1，∴故作B1H⊥O1B交于H时，BH1⊥A1C1，即H为B1在平面A1C1B内的射影．另在求此角大小时，只要求∠解析：〔１〕如图，连结BC1，交B1C于O，连A1O．∵A1B1⊥平面B1BCC1，BC1平面B1BCC1，∴A1B1⊥BC1．又B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1∴BC1⊥平面A1B1CD，O为垂足，∴A1O为A1B在平面A1B1CD上的射影，则∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．sin∠BA1O＝，∴∠BA1O＝３０°．〔２〕连结A1C1交B1D1于O1，连BO1作B1H⊥BO1于H．∵A1C1⊥平面D1DBB1，∴A1C1⊥B又B1H⊥BO1，A1C1∩BO1＝O1，∴B1H⊥平面A1C∴∠B1BO1为B1B与平面A1C1tan∠B1BO=，即B1B与平面A1C1B所成的角的正切值为．379.Rt△ABC中，∠C＝９０°，BC＝３６，假设平面ABC外一点P与平面A，B，C三点等距离，且P到平面ABC的距离为８０，M为AC的中点．〔１〕求证：PM⊥AC；〔２〕求P到直线AC的距离；〔３〕求PM与平面ABC所成角的正切值．解析：点P到△ABC的三个顶点等距离，则P在平面ABC内的射影为△ABC的外心，而△ABC为直角三角形，其外心为斜边的中点．证实〔１〕∵PA＝PC，M是AC中点，∴PM⊥AC解〔２〕∵BC＝３６，∴MH＝１８，又PH＝８０，∴PM＝，即P到直线AC的距离为８２；〔３〕∵PM=PB=PC，∴P在平面ABC内的射线为△ABC的外心，∵∠C=90°∴P在平面ABC内的射线为AB的中点H。∵PH⊥平面ABC，∴HM为PM在平面ABC上的射影，则∠PMH为PM与平面ABC所成的角，∴tan∠PMH＝380.如图，在正四面体ABCD中。各面都是全等的正三角形的四面体，M为AD的中点，求CM与平面BCD所成角的余弦值．解析：要作出CM在平面BCD内的射影，关键是作出M在平面BCD内的射影，而M为AD的中点，故只需观察A在平面BCD内的射影，至此问题解法已明朗．解作AO⊥平面BCD于O，连DO，作MN⊥平面BCD于N，则N∈OD．设AD＝a，则OD＝，∴AO＝，∴MN＝．又∵CM＝，∴CN＝．∴CM与平面BCD所成角的余弦值为．381.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1A的中点，N在AB上，且AN∶NB＝１∶３，求证：C1解析：在空间中作出两条直线垂直相对较在平面内作两条直线垂直难．此题C1M与MN是相交直线，一种方法可通过勾股定理来验证它是否垂直，另一方法为：因MN是平面A1ABB1内的一条直线，可合计MC1在平面A1ABB1证实１设正方体的棱长为ａ，则MN＝，C1M＝，C1N＝，∵MN２＋MC1２＝NC1２，∴C1M⊥证实２连结B1M，∵C1B1⊥平面A1ABB1∴B1M为C1M在平面A1ABB1设棱长为a，∵AN＝，AM＝，∴tan∠AMN＝，又tan∠A1B1M＝，则∠AMN＝∠A1B1M，∴B1M由三垂线定理知，C1M⊥MN382.如图，ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝９０°，AB＝BC＝a，AD＝２a，PA⊥平面ABCD，PA＝a．求证：PC⊥CD；求点B到直线PC的距离．解析：〔１〕要证PC与CD垂直，只要证实AC与CD垂直，可按实际情形画出底面图形进行证实．〔２〕从B向直线PC作垂直，可利用△PBC求高，但需求出三边，并推断其形状〔事实上，这里的∠PBC＝９０°〕；另一种重要的思想是：因PC在平面PAC中，而所作BH为平面PAC的斜线，故关键在于找出B在平面PAC内的射影，因平面PAC处于“竖直状态〞，则只要从B作“水平〞的垂线，可见也只要从B向AC作垂线便可得其射影．证实〔１〕取AD的中点E，连AC，CE，则ABCE是正方形，△CED为等腰直角三角形．∴AC⊥CD，∵PA⊥平面ABCD，∴AC为PC在平面ABCD上的射影，∴PC⊥CD；解〔２〕连BE交AC于O，则BE⊥AC，又BE⊥PA，AC∩PA＝A，∴BE⊥平面PAC．过O作OH⊥PC于H，连BH，则BH⊥PC．∵PA＝a，AC＝，∴PC＝，则OH＝，∵BO＝，∴BH＝383.四面体ABCD的四个面中，是直角三角形的面至多有 〔〕〔Ａ〕１个 〔Ｂ〕２个〔Ｃ〕３个 〔Ｄ〕４个解析：〔D〕设底面为直角三角形，从底面的一个锐角顶点作平面的垂线，则这样的四面体的每个面都是直角三角形．384.直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，直角顶点C在平面α外，C在平面α内的射影为C1，且C1AB，则△C1AB为 〔〕〔Ａ〕锐角三角形 〔Ｂ〕直角三角形〔Ｃ〕钝角三角形 〔Ｄ〕以上都不对解析：〔C〕∵C1A2+C1B2