好久没发专栏了，今天再来点别的。

这次是要在几何层面探讨线线、线面、面面平行的证明。

下面直接开始正文。

为了更容易叙述下面的内容，我们先介绍几个符号。

1.点

我们还是用大写字母A,B,C,D,E,F,G……表示点。

2.线

和平面几何类似，我们用小写字母a,bc,d,e,f,g……以及AB,CD,EF,GH,BC,DE,FG,HB……表示线。

3.面

这是平面几何所没有的。

第一种表示方法，就是用希腊字母α,β,γ,δ,ε,ζ,η,θ,ι,κ,λ,μ……表示。

第二种表示方法，就是用四个不共线但共面的点表示平面，如平面ABCD。

第三种表示方法，就是用三个不共线的点表示平面，如平面ABC。

第四种表示方法，就是在不引起歧义的情况下，用平面的两个点表示平面，如平面AB。

4.点在直线上

点A在直线a上可以表示为

A∈a

5.点不在直线上

点A不在直线a上可以表示为

A∉a

6.点在平面上

点A在平面α上可以表示为

A∈α

7.点不在平面上

点A不在平面α上可以表示为

A∉α

8.直线在平面上

直线a在平面α上可以表示为

a⊂α

9.直线不在平面上

直线a不在平面α上可以表示为

a⊄α

10.直线与直线相交与一点

直线a与直线b相交与点A可以表示为

a∩b=A

如果不知道交点是什么就表示为

a∩b≠Φ

11.直线与直线不相交

直线a与直线b不相交可以表示为

a∩b=Φ

附：直线与直线的位置关系

直线与直线有以下几种位置关系。

我们可以发现，

m⊂平面BB1C1C

n⊂平面BB1C1C

我们称，m与n共面。

更特殊地，m和n还平行。(后面再给出平行的具体定义)

记作m∥n

而m和l是垂直的(以后再定义)

记作m丄l

而m和l还是共面的，所以它们是共面垂直。

我们还能发现，我们找不到一个平面使得k和l都在那个平面上(以后再说证明)，我们称k和l异面。

更特殊的，k丄l(以后再证明)

而k和l异面，这属于异面垂直。

12.直线和平面垂直

这个以后定义，现在先凭感觉。

在刚刚的图中k垂直与平面ABCD，记作

k丄平面ABCD

13.直线与平面交于一点

更一般地，我们发现k与平面ABCD交与一点C，记作

k∩平面ABCD=C

14.平面和平面相交与一条直线

平面ABC和平面ABD相交与直线AB，记作

平面ABC∩平面ABD=AB

如果不知道交线是什么就记作

平面ABC∩平面ABD≠Φ

15.平面和平面平行

如上图中平面ABCD平行于平面A1B1C1D1(以后定义)，记作

平面ABCD∥平面A1B1C1D1

这里呢，我们要先立好规矩，先介绍几个公理。

然后我们要用这些公理推导所有的内容。

1.不共线三点确定一个平面

如题，结束。

这个公理给出了确定平面的具体方法，这也就是我们用不共线的三点表示平面的依据。

2.如果一条直线上的两个点在平面内，那么这条直线在这个平面内

也就是

A∈a，B∈a，A∈α，B∈α→a⊂α

注意四推一。

这个公理告诉我们，想证明直线在平面内你只需要证明直线上两个点在平面内即可，这为证明直线在平面内提供了极大的便利。

3.两个不重合的平面有一个公共点，那么有且只有条过该点的公共直线

也就是A∈α,A∈β→α∩β=l且A∈l

这个公理告诉我们两个平面相交只有一个结果，就是它们有且只有一条交线。确定交线的方法就是确定两个交点，它们的连线就是交线。

4.平行于一条直线的两条直线平行

也就是

a∥b，c∥b→a∥c

也就是说平行线的传递性仍然成立。

第一种方法就是公理1，不共线三点确定一个平面。

第二种方法就是用一条直线和直线外的一点

下面给出证明

根据公理1，A,B,C确定一个平面

根据公理2，直线AB在平面ABC内

于是直线与直线外一点确定一个平面。

第三种方法就是用两条相交直线。

由方法二，直线AB与C确定一个平面。

再用公理2，我们得到BC也在平面ABC内

所以两条相交直线确定一个平面。

据此我们发现，三角形一定是平面图形，所以平面几何中关于三角形的一切在立体几何中均成立。

类似地，两条平行直线确定一个平面。

也就是说，梯形和平行四边形也是平面图形。

但是四边形不一定是平面图形！

你看这个空间四边形ABCD

至此立体几何已初见雏形。

下一期我们将详细地说明直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系。