数域。对于所有自然数的集合，即集合\{1,\ 2,\ 3,\ .\ .\ .\}，我们使用符号N。常用于表示自然数的字母是n,\ m,\ k,\ i,\ j,\ p，但也可能用其他的字母。

使用自然数，我们可以构造其他著名的数域：整数，有理数，和实数（还有复数，但是我们在这本书里很少提及）。

整数在自然数的基础上加入负整数和0之后得到。整数集用符号Z表示。

有理数是以整数作为分子和分母的分数。有理数集通常用Q表示，但我们在这本书不必为这个集合引入符号。实数集R的结构更为复杂，在数学分析的入门课程会涉及。是实数但不是有理数的一个著名例子是\sqrt2，还有一些重要的常量如\pi也是，通常在小数点后的数字是无限非循环的数也是实数，如：0.12112111211112 . . .。

在实数坐标轴上从a到 的闭区间使用[a,\ b]表示。同样端点的开区间用(a,\ b)表示。

数的运算。大多数数的运算符都是大家熟知的，如加用+，平方根用\sqrt{\ \ }。我们使用分数表示除法，有时也使用斜杠，即 \frac{a}{b} 或者a/ b。

我们介绍两个没这么常见的函数。对实数x，符号\left\lfloor x\right\rfloor称为\ x的向下取整结果（或者称为x的地板函数）[1]，它的值为小于等于x的最大整数。同样的，\left\lceil x\right\rceil为向上取整结果（或者天花板函数），它的值为大于或等于x的最小整数。例如 \left\lfloor0.999\right\rfloor=0, \left\lfloor-0.1\right\rfloor=-1, \left\lceil0.01\right\rceil=1,\left\lceil\frac{17}{3}\right\rceil=6 ,\left\lfloor\sqrt2\right\rfloor=1。

接下来，我们将介绍更多的数的运算和函数，它们有重要的组合意义，例如n!和\binom{n}{k}。

和与积。如果a_1,a_2,\cdots,a_n为实数，它们的和a_1+a_2+\cdots+a_n可以用和符号表示为如下形式： \sum_{i=1}^{n}a_i\\ 这一标记法有点类似于很多程序语言中的FOR循环。这里有一些例子： \sum_{j=2}^{5}{\frac{1}{2j}=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}}+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}\\ \sum_{i=2}^{5}{\frac{1}{2j}=\frac{1}{2j}+\frac{1}{2j}+\frac{1}{2j}}+\frac{1}{2j}=\frac{2}{j}\\ \begin{align} \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}(i+j) &= \sum_{i=1}^{n}\left(\left(i+1\right)+\left(i+2\right)+\cdots+\left(i+n\right)\right) \notag \\ &= \sum_{i=1}^{n}\left(ni+\left(1+2+\cdots+n\right)\right)\\ &=n\left(\sum_{i=1}^{n}i\right)+n\left(1+2+\cdots+n\right) \\ &= 2n\left(1+2+\cdots+n\right) \\ \end{align}\\ 类似于和可以用符号 \sum\ 表示（大写希腊字母sigma，来源于单词sum），积可以使用符号 \prod\ 表示（希腊字母pi），例如： \prod_{i=1}^{n}\frac{i+1}{i}=\frac{2}{1}\bullet\frac{3}{2}\bullet\cdots\bullet\frac{n+1}{n}=n+1 \\ 集合。另一个我们会使用的概念是集合。很有可能你已经在高中接触过集合了（感谢学校系统的现代教学，可能在小学你们就接触过了）。集合通常用大写字母表示： A,B,. . . ,X,Y, . . . , M,N, . . . \\ 集合里的元素使用小写字母表示：a,\ b, . . ., x, y, . . .,m, n, . . .。

集合X里面包含元素x传统上使用符号\in表示，该符号是希腊字母\varepsilon的变体。记号x\in X一般读作“x是X的元素”，“x属于X”，“x在X里”，等等。

请注意集合的概念和符号∈是所谓的元概念。这就是说我们没有使用其他的简单概念来定义这个概念（例如，不像有理数是用整数来定义的）。为了理解集合的概念，本书我们依赖于直觉（使用无数的例子支撑）。在20世纪初期发现，如果完全自由的使用集合的直觉上的概念，会引起各种奇怪的情况，即所谓的悖论[2]。为了排除这些悖论，集合理论在形式化的基础上进行了重建，集合的属性从几个严格的形式化基础假设（公理）中派生出来。对于本书中使用的集合，几乎都是有限集，我们无需担心会出现悖论，因此我们只使用直觉上的集合概念即可。

具有元素1，37和55的集合写为\{1, 37, 55\}。这和记法\{37, 1, 55\}与\{1, 37, 1, 55, 55, 1\}表达的是同样的事情。因此同一个元素多次出现会被忽略：同样的元素不能在相同的集合里面出现两次!\{2,\ 4,\ 6,\ 8,\ .\ .\ .\}中的三个点（省略号）表示“之后的类似，使用同样的模式”，即这一记法表示所有偶数自然数集合。合适的模式应该在第一眼看上去是显而易见的。例如\{2^1,\ 2^2,\ 2^3,\ .\ .\ .\}很容易理解是2的所有次幂的集合，而\{2,\ 4,\ 8,\ .\ .\ .\}则看上去没这么清楚。

有序和无序对。我们已经学习过的，符号\{x,y\}表示集合只包含元素x和y。对于这个特例，集合\{x , y \}有时被称为x和y的无序对。\{x,y\}与\{y,x\}完全相同，如果x=y则\{x,\ y\}是一个1-元素集。

下面介绍的记号(x,y)表示x和y的有序对。对这一结构来说，元素 和 的次序是很重要的。我们有下面的假设：

(x,y)\ =\ (z,t)当且仅当x=z,y=t\tag{1.1}

有意思的是，有序对可以使用无序对的概念定义如下：

(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}

可以使用满足条件（1.1）的方法检验该有序对的定义。然而，在本书中对我们来说把(x,y)看做元概念会更简单一点。

类似的，我们使用\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)表示包含元素x_1,x_2,\cdots,x_n的有序 元组。这一记法的一个例子是表示平面上的一个点的x,y坐标为(x,y)，同样的也可以表示更高维空间上的向量。

集合的定义。更复杂和有意思的集合通常由已知的集合使用一些规则创建。所有自然数的平方的集合可以写成：

\left\{i^2:i\in N\right\}

或

\left\{n∈N:存在 k∈N 使得 k^2=n\right\}

或者使用符号\exists 表示“存在”：

\left\{n\in N:\ \exists k\in N\left(k^2=n\right)\right\}

另一个例子是之前介绍过的开区间(a,b)的正式定义：

\left(a,b\right)=\left\{x\in R:a