公共服务设施对于满足人们日益增长的物质和文化生活需要及全面提升生活品质起着至关重要的作用。因此,公共服务设施的公平配置就成为其规划和布局的重要目标(Wang et al, 2013; Dadashpoor et al, 2016),尤其是在基本公共服务均等化的政策背景下,这一目标显得更为重要。空间可达性评价方法能够识别出公共服务的稀缺区域,是衡量公共服务设施布局空间公平性的有效途径(宋正娜等, 2010; 陶卓霖等, 2015),因此也受到国内外研究的广泛关注,并开发出了丰富的方法体系(宋正娜等, 2010; Wang, 2012)。其中,两步移动搜寻法(Two-step floating catchment area method, 2SFCA)得到了广泛关注和应用,并且在后续研究中各种扩展形式层出不穷,形成了一个庞大的两步移动搜寻法模型族。在国内,近几年来两步移动搜寻法也受到越来越多的关注,在医疗(刘钊等, 2007; 胡瑞山等, 2012; 邓丽等, 2015; 付加森等, 2015)、教育(任若菡等, 2014)、养老(陶卓霖等, 2014; 赵东霞等, 2014)、绿地(魏冶等, 2014)、旅游景点(张鹏飞等, 2015)等公共设施可达性以及就业可达性(王绮等, 2015)等领域均有应用,并且对两步移动搜寻法的部分改进形式也有应用(任若菡等, 2014; 陶卓霖等, 2014; 魏冶等, 2014; 邓丽等, 2015; 张鹏飞等, 2015)。但整体而言,国内研究中对两步移动搜寻法,尤其是其扩展形式的应用还较为有限。因此,本文通过对两步移动搜寻法的主要扩展形式进行系统梳理和总结,以期为相关研究的方法选择提供参考,促进两步移动搜寻法在国内相关领域的应用和发展。

2SFCA最早是由Radke等(2000)提出,由Luo等(2003)进一步改进并命名为两步移动搜寻法。2SFCA的基本思想为：①对每个供给点j,搜索所有在j搜寻半径( d0)范围内的需求点(k),计算供需比 Rj;②对每个需求点i,搜索所有在i搜寻半径( d0)范围内的供给点(j),将所有的供需比 Rj加总得到i点的可达性 AiF(Luo et al, 2003)：

(1)

式中：i表示需求点;j表示供给点; AiF表示根据2SFCA计算得到的需求点i的可达性; dij是需求点i和供给点j间的距离; Rj是供给点j的设施规模与搜寻半径( d0)内所服务的人口的比例; Sj表示供给点j的供给规模; Dk表示需求点k的需求规模。

另一个较常用的可达性评价方法为重力模型法,也称为潜能模型(宋正娜等, 2009)。实际上,2SFCA和重力模型法基于同一个理论框架(Luo et al, 2003),都综合考虑了设施的供给规模、需求规模和供需之间的距离关系对可达性的影响,两者的不同在于对距离因素的处理：重力模型法采用了连续型距离衰减函数,从而考虑了设施服务能力随距离衰减的特征,但并未对设施的有效搜寻半径进行限制;而2SFCA法采用二分法处理距离衰减,即在搜寻半径阈值范围内的可达性相同,而在搜寻半径范围之外则完全不可达。

此外,还有其他几种较为常用的可达性评价方法：最近距离法只考虑距离因素,未对供需点规模因素进行考虑;Huff模型考虑了设施规模和距离因素,但未考虑需求点规模;核密度法实际上与重力模型法同属一个框架,采用的距离为欧氏距离,无法考虑实际交通网络的影响,也没有考虑需求点规模(陶卓霖等, 2014)。

综上可知,在众多空间可达性评价方法中,2SFCA和重力模型法应用最为广泛,考虑的因素最为全面,模型的理论基础相似,但2SFCA得益于两步移动搜寻的思想,易于理解,可操作性更强,因此得到了更多的关注和发展,为各种可能的扩展形式提供了可行的基本框架(McGrail et al, 2009)。

2SFCA原始形式中对距离衰减的处理为二分法。一部分扩展形式针对距离衰减函数进行扩展,本质上是在2SFCA的搜寻半径之内再加入一个额外的距离衰减函数,具体函数形式因扩展形式而不同。

针对这类扩展,Wang(2012)提出了一个2SFCA的一般形式(Generalized 2SFCA),在模型中加入一项距离衰减函数 f(dij),用于概括和表示不同扩展中的距离衰减函数形式：

Ai=∑j=1nSjf(dij)∑k=1mDkf(dkj)(2)

式中： Ai是需求点i的可达性得分,实际含义为需求点i的平均每个需求者可达的设施资源; f(dij)是一般化的距离衰减函数;其他变量含义与式(1)一致。 f(dij)可进一步表示为：

f(dij)=g(dij),dij≤d00,dij>d0(3)

式中：f是一般化的距离衰减函数; dij是i和j的距离; d0是搜寻半径,即设施的有效服务半径; g(dij)表示在搜寻半径 d0范围内的距离衰减函数。在这一框架下,可将2SFCA的各个扩展形式对距离衰减函数的改进概括为对函数 g(dij)的替代。2SFCA原始形式中将 g(dij)处理为恒等于一个常数,而在扩展形式中,函数 g(dij)可采用按距离区分权重的分段衰减形式、重力模型的距离衰减函数形式(如幂函数或指数函数等)、核密度形式或高斯形式等。下面介绍主要的几种距离衰减函数扩展形式(图1)。

(1) 增强型2SFCA

为解决2SFCA原始形式中对搜寻半径内可达性的差异未予以区分的不足,Luo等(2009)进一步提出了增强型2SFCA (Enhanced 2SFCA, E2SFCA),将搜寻半径范围内的距离衰减函数 g(dij)进行分段处理,距离越近的分段内权重越大,可达性越好。函数 g(dij)可表示为：

g(dij)=W1,dij∈D1…,…Wr,dij∈Dr(4)

式中：搜寻半径内的范围按距离分为 r段; Dr表示第 r分段; Wr表示第 r分段内的可达性权重,根据距离衰减原理,通常距离越近的分段内权重越大。例如,在Luo等(2009)的研究中,具体将30 min的搜寻半径划分为3段：0~10、10~20、20~30 min,各段的权重根据高斯函数确定(Kwan, 1998);实际结果发现E2SFCA的评价结果更符合直觉判断,且对公共服务资源匮乏地区的识别更为精确。E2SFCA方法在国内也已有一定应用,如张鹏飞等(2015)采用其对武汉市城市旅游景点可达性进行了评价。

E2SFCA的不足之处为,对距离分段的划分以及权重的确定仍存在一定主观和理想化的成分。距离分段的数量和划分标准由研究者主观决定,而权重则是根据在假设搜寻半径范围内的设施和需求点各自服从正态分布的理想条件下的高斯函数来确定,与实际情况难免会存在偏差。

(2) 重力型2SFCA

重力型2SFCA(Gravity 2SFCA, G2SFCA)采用重力模型的距离衰减函数作为2SFCA搜寻半径内的距离衰减函数 g(dij)(陶卓霖等, 2014)。重力模型是空间相互作用领域发展最为成熟的模型,对其距离衰减函数的探讨也较为丰富,较为常用的函数形式有幂函数型、指数型、对数型等(王成金, 2009; 刘瑜等, 2014)。高斯型函数形式虽也有一些研究涉及(刘瑜等, 2014),但由于2SFCA扩展形式中有一类专门命名为高斯型2SFCA,因此这里不再归类为重力型2SFCA,而是单独作为一类进行介绍。以最为常见的幂函数形式为例,扩展后的重力型2SFCA搜寻半径内的距离衰减函数 g(dij)可表示为：

g(dij)=dij-β,dij≤d0(5)

式中： β为距离衰减参数;其他变量与式(2)相同。例如,Wang等(2013)、陶卓霖等(2014)以及Tao等(2014)在研究中均采用重力型2SFCA度量医疗设施或养老设施的空间可达性,并对距离衰减参数 β的取值进行了敏感性分析。

重力型2SFCA将发展较为成熟的重力模型中的距离衰减函数引入到2SFCA中,从而将传统2SFCA和E2SFCA的离散型距离衰减函数改进为连续型函数(图1c)。这一改进具有以下优点：一是刻画了传统2SFCA搜寻半径内的可达性差异,从而增强了可达性评价的准确性;二是不需要像E2SFCA那样对距离进行主观性的分段,且距离衰减函数的数学表达形式更为简洁,有效提升了模型形式的可读性;三是有利于重力模型的应用和发展中在函数形式和参数设定方面积累的经验。

(3) 核密度型2SFCA

核密度型2SFCA(Kernel Density 2SFCA,KD2SFCA)由Dai等(2011) 提出,在2SFCA搜寻半径内加入核密度函数形式的距离衰减函数 g(dij),可表示为：

g(dij)=341-dijd02,dij≤d0(6)

式中：核密度函数的带宽参数为搜寻半径 d0, d0取值越小则距离衰减效应越强,即可达性随距离增加而减弱的趋势越强;其他变量含义同式(2)。

核密度型2SFCA与重力型2SFCA类似,都具有连续型距离衰减函数,但两者的距离衰减函数形式不同。核密度型距离衰减函数为凹函数,当距离较小时,可达性随距离的衰减速度较慢;距离越大,则衰减越快(图1e)。本文所用的幂函数形式的重力型距离衰减函数为凸函数,当距离较小时,可达性衰减较快;距离越大,则衰减越慢(图1c)。

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图1   主要距离衰减函数示意图(资料来源：作者根据Wang(2012)自绘)

Fig.1   Major forms of distance-decay function (Data source: Wang (2012))

(4) 高斯型2SFCA

高斯型2SFCA(Gaussian 2SFCA, Ga2SFCA)由Dai(2010, 2011)提出,采用高斯函数作为2SFCA搜寻半径内的距离衰减函数 g(dij),可表示为：

g(dij)=e-12×dijd02-e-121-e-12,dij≤d0(7)

式中：各变量含义与式(2)相同。

Dai将高斯型2SFCA运用到了医疗设施(Dai, 2010)和城市绿地(Dai, 2011)的可达性评价研究中。在国内,已有学者利用高斯型2SFCA评价沈阳市城市绿地可达性(魏冶等, 2014)和就业可达性(王绮等, 2015)。

高斯型2SFCA的距离衰减函数与重力型2SFCA和核密度型2SFCA均不相同(图1d),后两种距离衰减函数中可达性衰减速率随距离的增加持续增大或减小,而高斯型距离衰减函数中的可达性衰减速率随距离的增加先加快后减慢。

(5) 对距离衰减函数选取的讨论

上述几类2SFCA扩展形式针对距离衰减函数进行改进,将2SFCA原始形式中搜寻半径内可达性无差异的二分法改进为不同类型的分段型或连续型距离衰减函数。不同扩展形式之间的差异主要在于距离衰减函数的衰减趋势不同,如E2SFCA的距离衰减函数为分段跳跃型衰减;幂函数形式的重力型2SFCA和核密度型2SFCA分别为凸型和凹型的连续衰减;而高斯型2SFCA为“S”型衰减,可达性随距离衰减速度在较近和较远阶段较慢,而在中间部分较快(Wang, 2012)。

在实际应用中,距离衰减函数形式的选取应根据案例的设施实际使用行为特点而定。最理想的状况是根据设施使用行为的实际调查确定距离衰减函数形式及相关参数值,但这往往需要耗费大量的人力和资金投入,且特定案例区域的调查结果不一定能扩展到其他区域应用,因此可操作性不强。值得注意的是,近年快速发展的手机数据、出租车轨迹数据和社交网络数据等大数据研究能对人类出行行为的距离衰减特征进行识别,从而为距离衰减函数形式的科学选取以及相应参数的标定提供有效支持(刘瑜等, 2014)。例如,齐兰兰等(2014)利用出租车轨迹数据对广州市医疗设施的出行特征进行了检验,发现医疗服务的使用行为确实符合距离衰减规律：1.5 km内人数最多,超过1.5 km后随距离增加出行人数逐渐减少。需指出的是,设施使用行为不仅受到距离衰减效应的影响,还受到设施的服务质量和收费水平、交通方式的差异以及设施使用者出行能力和经济能力等多方面因素的综合影响,因此在根据相关数据确定参数值时,应充分考虑这些因素对设施使用行为的影响。当缺乏距离衰减函数及参数值设定的充足依据时,应通过多情景分析提供更综合的结果参考,对关键参数的设定应进行敏感性分析(周慧等, 2015)。

除缺乏对搜寻半径内可达性差异的考虑外,2SFCA的另一个不足是采用单一的搜寻半径,对于所有设施和人群的搜寻半径均相同(McGrail et al, 2009)。一些研究尝试提出针对这一不足的扩展形式(Luo et al, 2012; McGrail, 2012; McGrail et al, 2014; 陶卓霖等, 2014)。

(1) 可变半径2SFCA

Luo等(2012)最早提出了一种搜寻半径可变的2SFCA扩展形式,并命名为可变半径2SFCA(Variable 2SFCA, V2SFCA)。具体做法为：在第一步搜寻,即以每个设施为中心进行搜寻时,首先设定一个初始的搜寻半径 d0,若设施在当前搜寻半径内覆盖的需求量未达到最小服务量阈值(该研究中定为50万人),则逐步增加搜寻半径直到满足这一条件,将最终得到的搜寻半径作为第一步搜寻的设施供给搜寻半径 df;而第二步搜寻,即以每一个需求点为中心进行搜寻时,与第一步类似,首先设定初始搜寻半径 t0,逐步增加搜寻半径直到需求点在当前搜寻半径内所能获取的设施资源达到给定的最小阈值(该研究中定为每3500人1名医生),将最终的搜寻半径作为第二步搜寻的需求点搜寻半径 tf。

V2SFCA能够较为有效地解决采用单一搜寻半径可能遇到的两类问题：一是部分区域需求分布较为分散时,采用单一搜寻半径可能导致设施无法形成有效供给规模;二是供给分布较为分散时,采用单一搜寻半径可能导致需求点无法获取满足基本需求的公共服务资源,而在实际情况中,当设施数量很少时,需求者倾向于克服更远的距离以获取服务。但对于设施的最小服务量阈值和需求点获取的设施资源最小阈值的确定具有较大主观性,缺乏充足依据。

(2) 动态半径2SFCA

McGrail等(2014)提出了根据区域人口密度确定不同搜寻半径的扩展形式,即动态半径2SFCA(Dynamic 2SFCA, D2SFCA)。McGrail等(2014)首先根据人口密度将澳大利亚全国范围划分为主要城市(RA-1)、内部地区(RA-2)、外围地区(RA-3)、偏远地区(RA-4)和高度偏远地区(RA-5)5种类型,并根据既有调查数据和经验判断将5类地区的基本医疗服务搜寻半径依次设为30、45、70、120和200 min,并进行实证检验,发现根据人口密度的减小,逐步增大搜寻半径的方法是可行的,但上述5级搜寻半径的划分方法还较为粗略,所得结果中存在少量不合理的情况。

因此,McGrail等(2014)进一步改进了动态搜寻半径的划分方法。具体方法为,对任意相邻2类地区之间的界限进行平滑处理(例如,属于RA-4,但实际上更为邻近RA-3的需求点,设施选择行为可能与RA-3更为接近),从而进一步在5类地区的基础上划分出3个子类,划分的3个原则如下：

第一,如果需求点周边的大部分(>50%)服务设施与该需求点位于同一类型地区或位于更高级别地区,则该需求点的搜寻半径保持不变。例如,假设需求点A位于RA-4且满足本条件,则需求点A的搜寻半径仍设置为RA-4的值,即120 min。

第二,如果需求点周边的少部分(25%~50%)设施与该需求点位于同一类型或更高级别类型地区,则该需求点的搜寻半径需要进行修正(该类型搜寻半径减去其与更低一级搜寻半径之差的1/3)。例如,假设需求点B位于RA-4且满足本条件,则需求点B的搜寻半径修正为：120(RA-4半径)-50(RA-4与RA-3半径之差)×1/3=103 min。

第三,如果需求点周边的极少数(