在计算机图形学、工程学和其他领域中，使用多个坐标空间是为了处理不同的问题和任务，以及在不同的上下文中更有效地进行操作。不同的坐标空间可以提供不同的优势和功能，因此在不同情况下使用它们可以提高效率、准确性和可维护性。

世界坐标空间是一个用于描述三维场景中对象位置和方向的坐标系统。它是一个绝对的坐标空间，用于表示场景中的各个物体相对于一个共同的参考点或原点的位置。世界坐标空间通常用于定义场景中的物体的初始位置、朝向和大小。

在世界坐标空间中，每个物体都有唯一的坐标来表示其位置和方向。这些坐标可以使用三维笛卡尔坐标系来表示，通常用 (x, y, z) 来表示一个物体在三维空间中的位置。世界坐标空间允许我们准确地描述场景中的物体如何相对于彼此排列，以及它们相对于整个场景的位置。

世界坐标空间的一些关键概念和用途包括：

对象坐标空间（Object Coordinate Space）是指一个三维对象（如物体、模型等）相对于其自身的局部坐标系。这个坐标系是相对于对象的几何形状、大小和定位来定义的，因此它可以用来描述对象内部的结构和属性，而不受整个场景的影响。对象坐标空间在进行对象的局部变换、变形和操作时非常有用。

在对象坐标空间中，一个对象的局部原点（通常称为模型中心）被设置为原点，然后根据对象的几何形状和定位确定其他点的位置。这个坐标系通常与对象自身的局部轴线（例如物体的前后、上下、左右方向）对齐，使得对象的旋转、平移和缩放操作更加直观和方便。

以下是一些关键点，详细解释了对象坐标空间的含义和用途：

相机坐标空间（Camera Coordinate Space）是一个用于描述三维场景中物体位置的坐标系统，其中坐标的原点位于相机（或观察者）的位置。相机坐标空间是在相机视角下定义的，因此它可以帮助我们理解和操作如何在屏幕上呈现三维场景。

以下是相机坐标空间的一些关键概念和解释：

模型变换空间（Model Transformation Space）是指用于描述和处理三维模型在不同坐标空间中的变换和操作的概念。这是为了方便地在模型级别对物体进行平移、旋转、缩放等操作，而不必考虑全局场景的复杂性。

模型变换空间主要涉及以下几个重要概念：

局部坐标空间（Local Space） ：每个独立的三维模型都有自己的局部坐标空间，这是模型的本地坐标系。在局部坐标空间中，模型的几何数据（顶点、法线等）以模型的原点为中心进行描述。

模型变换（Model Transform） ：模型变换是将模型从局部坐标空间变换到其他坐标空间的过程。这包括平移、旋转和缩放等操作。模型变换是通过矩阵运算来实现的，通常使用变换矩阵来描述。

世界坐标空间（World Space） ：在一个场景中，每个模型的局部坐标空间都需要转换到一个共同的世界坐标空间中，以便在场景中正确放置和定位模型。世界坐标空间是一个统一的坐标系，用于描述整个场景。

模型矩阵（Model Matrix） ：模型矩阵是一个4x4的变换矩阵，用于将模型从局部坐标空间变换到世界坐标空间。模型矩阵包含了平移、旋转和缩放的信息，它是模型变换的核心。

视图变换（View Transform） ：视图变换是将场景中的物体从世界坐标空间变换到相机（观察者）的坐标空间的过程。这包括相机的位置、朝向以及透视投影等变换。

通过将模型从局部坐标空间转换到世界坐标空间，再经过视图变换转换到相机空间，最终在屏幕空间中渲染，可以实现真实感的三维场景呈现。模型变换空间的概念帮助图形程序员更容易地操作模型的几何变换，而不必考虑复杂的全局场景变换。这种分层的变换流程使图形渲染变得更加模块化和可控，有助于实现各种图形效果和交互性。

在图形学中，坐标变换可以分为两种范式，即主动范式（Active Paradigm）和被动范式（Passive Paradigm），用来描述物体在不同坐标空间之间的变换。这两种范式从不同的角度考虑坐标变换的过程。

举例：

假设有一个三维模型（例如一个立方体），它位于局部坐标空间中。这个立方体可以绕自身的局部原点进行旋转。在主动范式下，旋转是在模型的局部坐标系内发生的。当我们应用旋转变换时，我们实际上在模型的坐标系中定义了旋转角度，然后将模型的每个顶点按照这个角度进行旋转。结果是模型的外观会改变，但坐标系保持不变。

考虑一个场景，场景中有一个摄像机和一个桌子。桌子位于世界坐标系中的某个位置。现在，我们要将这个场景渲染到摄像机的视角中。在被动范式下，我们关心的是坐标系的变换，而不是物体的主动变换。

首先，我们需要将桌子从世界坐标系变换到摄像机坐标系。这涉及到将整个场景相对于摄像机的位置和方向进行变换，以便正确投影物体。这个变换过程包括平移、旋转和缩放等。

在这个过程中，桌子本身没有发生任何变化，它仍然是一个桌子，但是由于坐标系的变换，它在摄像机的视角中的位置和外观会发生变化。这种变换是被动的，因为我们更关心坐标系的变化如何影响场景中的物体。

基向量可以用于描述和表示向量空间中的所有向量。你可以把基向量看作是一组特殊的"构造块"，它们代表了一个空间中的基本方向。通过调整这些基向量的权重（系数），你可以得到空间中任意位置的向量。想象一个简化的情况，假设你在一个二维平面上。你可以选择两个基向量，通常是单位向量i（表示x轴方向）和单位向量j（表示y轴方向）。这两个基向量构成了一个基础框架，你可以用它们来表示平面上的任意点。 举一个二维平面中的基向量的例子来说明:

正交基是线性代数中的一个重要概念，它指的是一个向量空间中的一组基向量，这些基向量两两之间互相垂直（即内积为零），并且每个基向量的长度为1（即归一化）。正交基的存在使得向量空间中的向量可以用更简单的方式表示和处理。

特点 ：

标准正交基和正交基是线性代数中的两个相关但不同的概念。它们都涉及基向量在向量空间中的特殊性质，但具体的要求和特点略有不同。

正交基（Orthogonal Basis）：

正交基是指一组基向量，这些基向量两两之间相互垂直（即内积为0），但不一定要求每个基向量的长度为1。正交基中的向量可以有不同的长度，只要它们满足垂直的条件。正交基的存在使得向量空间中的向量可以用简化的方式表示和处理。

标准正交基（Orthonormal Basis）：

标准正交基是一组特殊的正交基，其中每个基向量的长度（模）都为1，且基向量两两之间相互垂直（内积为0）。标准正交基的特点是每个向量的长度都一致，而且向量之间的垂直性质更为强烈。标准正交基在某些情况下更加方便，因为它们的向量长度统一，且内积计算更加简化。

线性相关 线性相关是向量集合中的一个性质，表示这些向量之间可以通过线性组合得到零向量，即存在非零的系数使得向量的线性组合等于零向量。如果一组向量是线性相关的，那么至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合。

形式化地，给定向量集合 {v₁, v₂, …, vₙ}，如果存在不全为零的标量（常数）c₁, c₂, …, cₙ，使得：

c₁ * v₁ + c₂ * v₂ + … + cₙ * vₙ = 0

其中零向量用0表示，那么这些向量就是线性相关的。

如果向量集合不满足上述条件，即不存在使得上述等式成立的非零系数，那么这些向量就是线性无关的。

举例说明 ：

线性无关

在线性代数中，一组向量被称为线性无关的，如果没有一个向量可以通过其他向量的线性组合来表示。换句话说，如果在一组向量中没有任何一个向量可以被其他向量的线性组合表示为零向量（除非所有系数都为零），那么这组向量就被认为是线性无关的。

线性无关的概念是向量空间中的一个重要性质，它可以用于衡量向量之间的相互关系和独立性。以下是线性无关的一些关键特点和例子：

特点 ：

例子 ：

考虑一个二维平面，向量v1=[10]v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}和向量v2=[01]v_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}是线性无关的，因为它们分别代表了平面的x轴和y轴方向，没有一个向量可以表示为另一个向量的线性组合。

另一方面，如果考虑向量u=[23]u = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}，则向量 u 可以通过向量 v_1 和 v_2 的线性组合表示：u = 2v_1 + 3v_2。这意味着向量u可以通过其他向量的线性组合表示为零向量，因此它们是线性相关的。