关于这个概念，搞3D的人应该都懂，而像我这样做图像处理的可能就对这个知道的比较少了。右手系这个概念其实很简单，看图就懂了。在坐标系中，右手摆成下图的样子，当拇指指向X轴食指指向Y轴时，中指指向了Z轴，满足这个条件的坐标系就是右手系。本文所有概念都在右手系下进行讨论。

右手系

当我要让一个点，绕Y轴转动了90°，并且用程序计算出了旋转结果，为了验证这个点是否旋转正确，我们需要知道这个90°是怎么转的。在网上搜索了挺多文章，都没有对这个东西进行明确的定义，那么这里给出我的总结。从原点（0,0,0）往Y轴方向看，此时视野中的坐标系降维到二维坐标系XOZ，那么让点绕O点顺时针转90°，即为正确的旋转结果。

[图待补]

这个问题比较简单，网上已经有较多总结：

设旋转前坐标为，旋转后坐标为。

公式表示：

x′=cosγ⋅x−sinγ⋅y

y′=sinγ⋅x+coγ⋅y

z′=z

最后是代码表示

//将空间点绕Z轴旋转

//输入参数 x y为空间点原始x y坐标

//thetaz为空间点绕Z轴旋转多少度，角度制范围在-180到180

//outx outy为旋转后的结果坐标

void codeRotateByZ(double x, double y, double thetaz, double& outx, double& outy)

{

    double x1 = x;//将变量拷贝一次，保证&x == &outx这种情况下也能计算正确

    double y1 = y;

    double rz = thetaz * CV_PI / 180;

    outx = cos(rz) * x1 - sin(rz) * y1;

    outy = sin(rz) * x1 + cos(rz) * y1;

}

公式表示：

x′=cosβ⋅x+sinβ⋅z

y′=y

z′=−sinβ⋅x+cosβ⋅

最后是代码表示

//将空间点绕Y轴旋转

//输入参数 x z为空间点原始x z坐标

//thetay为空间点绕Y轴旋转多少度，角度制范围在-180到180

//outx outz为旋转后的结果坐标

void codeRotateByY(double x, double z, double thetay, double& outx, double& outz)

{

    double x1 = x;

    double z1 = z;

    double ry = thetay * CV_PI / 180;

    outx = cos(ry) * x1 + sin(ry) * z1;

    outz = cos(ry) * z1 - sin(ry) * x1;

}

公式表示：

x′=x

y′=cosα⋅y−sinα⋅z

z′=sinα⋅y+sinα⋅z

最后是代码表示

//将空间点绕X轴旋转

//输入参数 y z为空间点原始y z坐标

//thetax为空间点绕X轴旋转多少度，角度制范围在-180到180

//outy outz为旋转后的结果坐标

void codeRotateByX(double y, double z, double thetax, double& outy, double& outz)

{

    double y1 = y;//将变量拷贝一次，保证&y == &y这种情况下也能计算正确

    double z1 = z;

    double rx = thetax * CV_PI / 180;

    outy = cos(rx) * y1 - sin(rx) * z1;

    outz = cos(rx) * z1 + sin(rx) * y1;

}

首先，需要定义"任意轴"的单位向量，例如X轴可以用向量来表示。

那么假设旋转轴的单位向量为，旋转前坐标为，旋转后坐标为，旋转角为，于是有：

x′=(vx⋅vx⋅(1−cosθ)+cosθ)⋅x+(vx⋅vy⋅(1−cosθ)−vz⋅sinθ)⋅y+(vx⋅vz⋅(1−cosθ)+vy⋅sinθ)⋅z

y′=(vx⋅vy⋅(1−cosθ)+vz⋅sinθ)⋅x+(vy⋅vy⋅(1−cosθ)+cosθ)⋅y+(vy⋅vz⋅(1−cosθ)−vx⋅sinθ)⋅z

z′=(vx⋅vz⋅(1−cosθ)−vy⋅sinθ)⋅x+(vy⋅vz⋅(1−cosθ)+vx⋅sinθ)⋅y+(vz⋅vz⋅(1−cosθ)+cosθ)⋅z

计算时照着公式代入即可。

最后给出代码实现：

//定义返回结构体

struct Point3f

{

    Point3f(double _x, double _y, double _z)

    {

        x = _x;

        y = _y;

        z = _z;

    }

    double x;

    double y;

    double z;

};

//点绕任意向量旋转，右手系

//输入参数old_x，old_y，old_z为旋转前空间点的坐标

//vx，vy，vz为旋转轴向量

//theta为旋转角度角度制，范围在-180到180

//返回值为旋转后坐标点

Point3f RotateByVector(double old_x, double old_y, double old_z, double vx, double vy, double vz, double theta)

{

    double r = theta * CV_PI / 180;

    double c = cos(r);

    double s = sin(r);

    double new_x = (vx*vx*(1 - c) + c) * old_x + (vx*vy*(1 - c) - vz*s) * old_y + (vx*vz*(1 - c) + vy*s) * old_z;

    double new_y = (vy*vx*(1 - c) + vz*s) * old_x + (vy*vy*(1 - c) + c) * old_y + (vy*vz*(1 - c) - vx*s) * old_z;

    double new_z = (vx*vz*(1 - c) - vy*s) * old_x + (vy*vz*(1 - c) + vx*s) * old_y + (vz*vz*(1 - c) + c) * old_z;

    return Point3f(new_x, new_y, new_z);

}

前面的问题比较基础，到这个问题就需要一点空间想象力了。

首先我假设一个点绕x、y、z轴旋转90°，最终它会落在哪里？这个答案不是唯一的，因为旋转的顺序将会影响到最终的结果。

以点(1,2,3)为例

A 我让它首先绕x轴转90°，再绕y轴转90°，再绕z轴转90°。

double x = 1, y = 2, z = 3;

codeRotateByX(y, z, 90, y, z);

codeRotateByY(x, z, -90, x, z);

codeRotateByZ(x, y, -90, x, y);

cout