看了一道水题，发现这个两个问题值得记录一下。

一，直线分割平面：

首先考虑 n条直线最多把平面分成an部分

于是a0=1 a1=2 a2=4

对于已经有n条直线 将平面分成了最多的an块

那么加一条直线 他最多与前n条直线有n个交点 于是被它穿过的区域都被一分为二 那么增加的区域数就是穿过的区域

数 也就是这条直线自身被分成的段数 就是n+1 故 a(n+1) = an+n+1

an = n+(n-1)+...+2+a1 = n(n+1)/2 +1

二，平面分割空间：

设n个平面最多把空间分成bn个部分

于是b0=1 b1=2 b2=4

对于已经有n个平面 将空间分成了最多的bn块

那么加入一个平面 它最多与每个平面相交 在它的上面就会得到至多n条交线

同时被它穿过的空间区域也被它一分为二 那么增加的区域数仍旧是它穿过的区域数 也就是这个平面自身被直线分割

成的块数 就是an

于是b(n+1)=bn+an

bn=a(n-1)+b(n-1)=...=a(n-1)+a(n-2)+...+a1+b1

=(n-1)n/2 +(n-2)(n-1)/2+...+1*(1+1)/2+n+2

=求和[1方到(n-1)方]/2 + 求和[1到(n-1)]/2 +n+1

=n(n-1)(2n-1)/12 +n(n-1)/4 +n+1

=n(n+1)(n-1)/6 +n+1

=(n^3+5n+6)/6

三，直线分割空间：

由上所述，直接可以得到公式： an = (n*(n+1)/2+1) * (n^3+5n+6)/6

                                                        = (n^5+n^4+7*n^3+11*n^2+16*n)/12+1

四，折线分割平面：

 根据直线分平面可知，由交点决定了射线和线段的条数，进而决定了新增的区域数。当n-1条折线时，区域数为f（n-1）。为了使增加的区域最多，则折线的两边的线段要和n-1条折线的边，即2*（n-1）条线段相交。那么新增的线段数为4*（n-1），射线数为2。但要注意的是，折线本身相邻的两线段只能增加一个区域。

 故：f(n)=f(n-1)+4(n-1)+2-1                       =f(n-1)+4(n-1)+1                      =f(n-2)+4(n-2)+4(n-1)+2                      ……                      =f(1)+4+4*2+……+4(n-1)+(n-1)                         =2n^2-n+1