【Python】scipy稀疏矩阵的奇异值分解svds |
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基本原理scipy实现测试
基本原理
当 A A A是方阵时，可以很容易地进行特征分解： A = W Σ W − 1 A=W\Sigma W^{-1} A=WΣW−1，其中 Σ \Sigma Σ是 A A A的特征值组成的对角矩阵。如果 W W W由标准正交基组成，则 W − 1 = W T W^{-1}=W^T W−1=WT，特征分解可进一步写成 W T Σ W W^T\Sigma W WTΣW。 然而，当 A A A不是方阵时，情况大不一样了，但仍然可以将 A A A表示成 A = U Σ V T A=U\Sigma V^T A=UΣVT的形式，其中 Σ \Sigma Σ也是对角矩阵，对角线上的每个元素被称作奇异值。 奇异值的求解过程和特征值息息相关，因为把 A A A变成方阵很简单，只要乘以转置就行。故令 L = A A T L=AA^T L=AAT， R = A T A R=A^TA R=ATA，则 L , R L, R L,R都可以求特征值 λ i \lambda_i λi和特征向量，其中 L L L的特征向量为 A A A的左奇异向量， R R R的特征向量为右奇异向量。对应的奇异值 σ i = λ i \sigma_i=\sqrt{\lambda_i} σi=λi 。 scipy实现scipy.sparse.linalg中实现了稀疏矩阵奇异值分解算法，其参数列表如下 svds(A, k=6, ncv=None, tol=0, which='LM', v0=None, maxiter=None, return_singular_vectors=True, solver='arpack', random_state=None, options=None)各参数含义如下 A 待分解矩阵k 奇异值个数，必须在 [ k , k max ] [k, k_{\max}] [k,kmax]之间， 当solver='propack'时， k m a x = min ( M , N ) k_{max}=\min(M,N) kmax=min(M,N)，否则 k m a x = min ( M , N ) − 1 k_{max}=\min(M,N)-1 kmax=min(M,N)−1ncv solver='arpack'时，此为Lanczos向量个数，否则此项忽略。tol 奇异值容忍度，为0表示达到机器的精度which 为'LM'时，选取最大的奇异值；'SM'则选取最小奇异值v0 迭代初值maxiter 迭代次数return_singular_vectors 可选4个值 True 返回奇异向量False 不返回奇异向量"u": 如果M N，只计算右奇异向量；如果 solver='propack'，这个选项将忽略矩阵维度 solver 可选'arpack', 'propack', 'lobpcg'，但比较吊诡的是，似乎并没有关于这三者区别的文档random_state 设置随机数状态optionsdict 求解器参数其返回值有三 u 即 U U Us 即奇异值数组，也就是 Σ \Sigma Σ的对角线vh 即 V T V^T VT 测试下面对奇异值分解做个测试 import numpy as np from scipy.linalg import svd from scipy.sparse import csc_array from scipy.sparse.linalg import svds np.random.seed(42) # 设置随机数状态 mat = np.random.rand(500,800) mat[mat>> from timeit import timeit >>> timeit(lambda : svds(csc, k=499), number=10) 3.651770199999987 >>> timeit(lambda : svd(mat), number=10) 0.47201400000005833可见，稀疏矩阵在计算上的确是比不上规整的矩阵。 |
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