时间序列分解的经典方法起源于20世纪20年代，直到20世纪50年代才被广泛使用。它仍然是许多时间序列分解方法的基础，因此了解它的原理十分重要。传统的时间序列分解方法的第一步是用移动平均的方法估计趋势-周期项，因此我们先来讨论一下移动平均。

\(m\) 阶移动平均可以被写为： \[\begin{equation} \hat{T}_{t} = \frac{1}{m} \sum_{j=-k}^k y_{t+j}, \tag{6.1} \end{equation}\] 其中 \(m=2k+1\)。也就是说，时间点 \(t\) 的趋势-周期项的估计值是通过求 \(t\) 时刻的 \(k\) 周期内的平均得到的。时间邻近的情况下，观测值也很可能接近。由此，平均值消除了数据中的一些随机性，从而我们可以得到较为平滑的趋势周期项。我们称它为 “\(m\)-MA”，也就是 \(m\) 阶移动平均。

图 6.4: 南澳大利亚住宅用电销售量 (包括热水): 1989–2008。

如图 6.4，为1989年至2008年南澳大利亚年度住宅用户电力销售量。原始数据在表 6.1。

表中的第三列是5阶的移动平均，它给出了趋势周期项的估计值。这列的第一个值表示前5个观测值的平均值（1989–1993）；第二个值是1990–1994的平均值；至此类推。5-MA 列中的每一个值是以对应年份为中心的5年的观测值的平均值。在方程式 (6.1) 中，5-MA 列包含 \(\hat{T}_{t}\)，其中 \(k=2\)， \(m=2k+1=5\)。这可以很方便地用下式来计算：

表中的最前面 2 年和最后面 2 年都没有值，因为我们在两端都没有观测值。之后我们会运用更复杂的方法来估计趋势-周期项，它可以求出端点的估计值。

为了直观地来看趋势周期项，我们将它和原始数据绘制在图 6.5 中。

图 6.5: 住宅售电量（灰）与5-MA趋势周期项估计值（红）。

我们可以发现，趋势-周期项（红色）比原始数据更平滑，捕捉了时间序列去除了微小波动后的主要变化。移动平均的阶数决定了趋势-周期项的平滑程度。一般情况下，阶数越大曲线越平滑。图 6.6 展示了住宅住宅售电量数据在改变阶数后对其移动平均的影响。

图 6.6: 不同的移动平均在住宅用电量数据的应用。

简单移动平均的阶数常常是奇数阶（例如：3，5，7等），这样可以确保对称性。在阶数为 \(m=2k+1\) 的移动平均中，中心观测值和两侧各有的 \(k\) 个观测值可以被平均。但是如果 \(m\) 是偶数，那么它就不再具备对称性。

我们可以对移动平均序列计算它的移动平均,这样变可使偶数阶移动平均具备对称性。

例如，我们可能求得一个阶数为4的移动平均，然后对所得的结果再求出其2阶移动平均。在下表中，我们对澳大利亚啤酒生产季度数据的部分数据应用该方法。