由于 p 和 q 选取非常灵活，Hölder's 不等式的一大特点是：仅凭自身就能推出更强的形式和推广结果。这个笔记简单介绍其中的三个结果：

对正实数 p, q 的选取不加限制的 Hölder's 不等式

多于两个函数的广义的 Hölder's 不等式

逆向 Hölder's 不等式

首先根据 FFTypeZero 的建议，我们用范数形式对测度空间 S 上的积分进行简化。

这个简记需要注意两点：

当实数 p ≥ 1 时，如果积分不发散的话，是满足范数的要求的。

当 p < 1 时，不满足范数的要求。因此这种情况下仅仅是简记的作用，没有范数的意思。

【过期的猪肉干所喜欢的 Hölder's 不等式形式】对于任意定义在测度空间 S 上的实值非负函数 f 和 g，任意正实数 p 和 q，我们有

我们可以仅用 Hölder's 不等式就能证明这一点：

定义 r := pq / (p+q) （可理解为 1/r = 1/p + 1/q），根据 Hölder's 不等式我们有

两边取 1/r 次方就行了：

我们下面会看到，这个形式其实还可以推广到多于两个函数的情况，即“广义 Hölder's 不等式”。

对于测度空间 S 上的任意 n 个实值非负函数 f_1, ..., f_n，以及 n 个正实数 p_1, ..., p_n，定义正实数 r 满足

因为每一个 p_i 都大于 0，我们可以看出 r 比 p_i 当中最小的那个还要小，即 p_i - r > 0 恒成立。可以看到，过期的猪肉干所喜欢的例子中的 r 是 n = 2 的特例。

我们再用一遍上个例子中的思路。

定义一对 Hölder's 共轭（倒数之和为1的两个正实数）：

前面已经说过了，由于 p_n 一定大于 r，这里的 p 和 q 是良好定义的（都是正实数）。

应用 Hölder's 不等式：

两边取 1/r 次方：

可以看到上面这个不等式右边 f_n 一项被分离出来了。而 r - p_n 正好是前 n-1 项 p_i 的和。

所以重复上面的步骤，再利用 Hölder's 不等式 n-2 次，就可以得到广义的 Hölder's 不等式：

有趣的是，虽然我们利用 Hölder's 不等式放缩了 n-1 次，但结论不但没有减弱，反而变得比原版的 Hölder's 不等式适用范围更广了。这就是名字“广义”的由来。

本质上还是再利用一次 Hölder's 不等式：

第二步用到了 Hölder's 不等式，最后一步是改用了另外一种简记。

需要特别注意的是，上面当我们使用 Hölder's 不等式的时候，是假设 ||g^{-1/p}||_q 是不发散的且大于 0 的。

另外，根据 1/p + 1/q = 1，我们有 1/q = 1 - 1/p, - q/p = 1/(1 - p)。因此

代入到之前的结果：

两边 p 次方：

再移项：

或者换种简记也行：

只是些不同的记法，没有本质区别。

英文维基词条 Hölder's inequality 是这篇笔记的主要参考。