设有一立体，底面是xOy平面上闭区域D

顶是曲面z= f (x，y)，侧面是柱面。

问题:如何计算此曲顶柱体的V?→将D分成n个小闭区域

Δδ₁，Δδ₂，……，Δδₙ

在小区域Δδᵢ中任取一点(ζᵢ,ηᵢ)，则第i个小柱体体积为(ζᵢ,ηᵢ)•Δδᵢ

记n个小区域的直径最大值为λ，则

f(x,y)为有界闭区域D上有界函数。

其中D为积分区域，dσ为面积元素（有时记作dxdy )

直角坐标计算二重积分主要分为三步：

1）画出区域D的图形

2）写出x,y的范围

3）代入计算

首先根据题意画出图像

如图按照x型，x是按照数字来进行划定范围，如图，x的范围为1→2；

y则是按照函数来进行划定范围，如图，y的范围为1→x。

如图，红色是x的范围（为1→2）；蓝色是y的范围（为1→x）。

在计算xydy的积分时，应该把x看为常数，并且把x和1分别带入y（得到x/2 * x^2-x/2 * 1^2）

完整的计算过程如下：

根据上述步骤，解法如下

1)若被积函数关于x为奇函数，且积分区域D关于y轴对称，则积分为0

2)若被积函数关于y为奇函数，且积分区域D关于x轴对称，则积分为0

步骤如下

题中x:1→3，y:0→x-1，得出如图区域

若题给出的是x型，那么根据第一步图像重新转为y型；

若题给出的是y型，那么根据第一步图像重新转为x型。

题示为x型，那么我们转换为y型：

y:0→2;

x:y+1→3;

总体依然为三步