欧 鹏 王绍恒 高成政 刘雪莲 吴梦蝶

（重庆三峡学院数学与统计学院,重庆万州,404100）

摘 要：随着计算机软件技术的发展,数学软件Mathematica的功能越来越强大,具有很强的实用性.文章将借助数学软件Mathematica解决各类积分问题,尤其是对很难或者无法通过笔算解决的积分问题进行了阐述.

关键词：Mathematica软件；不定积分；定积分

中图分类号：G642.421 文献标识码：A 文章编号：1009-8135（2011）03-0030-05

借助数学软件辅助教学多年以来,[1]收到了较好的效果.积分是高等数学系列课程的重要组成部分,某些题目的积分计算量较大,过程繁琐,甚至无法用学过的数学方法求解.为使学生借助Mathematica软件快速、准确地解决上述问题,笔者结合实验与学习经历,通过借助Mathematica软件计算积分的典型例子,总结了几种常见方法,供读者参考.

含参数不定积分：命令Integrate中,若被积函数含有积分变量以外的变量,运行时均独立于积分变量而把此类变量当做常量.

大多数情况下,积分可以纯粹的根据诸如指数函数、对数函数和三角函数等基本初等函数进行运算.事实上,如果给出一个仅含这种初等函数的积分,那么Integrate的重要能力之一是如果该积分能用初等函数表示,那么Integrate总能成功计算出结果.

1.2 特殊函数的不定积分

有些函数的不定积分不能用初等函数表示,这里Mathematica软件通常能夠用特殊内部函数表示.

有时候为了某种特殊需要,需修改命令Integrate的参数,例如下面的积分不能用初等函数来表示.

退出系统后,对Integrate的修改自动还原.

1.3 无法计算的不定积分

如果不定积分既不能用初等函数表示,也无法用特殊函数表示,Mathematica直接以不定积分形式输出.

计算定积分时,也可首先通过先求不定积分,然后计算相应积分限处的值的办法,但值得注意的是有些函数的不定积分不能用初等函数表示,但其定积分仍可以计算.

2.2 特殊函数与定积分

在计算定积分时,有时求出来的定积分结果里面含有特殊函数,这些函数是Mathematica内部函数,我们可以对求出的结果取近似值得出近似解.如对例9中的定积分.

运行Integrate[Cos[Sin[x]],{x,0,2Pi}]得

也可以直接运行NIntegrate[Cos[Sin[x]],

{x,0,2Pi}]得到同样结果.

计算定积分时,还可对命令Integrate进行设置参数,通过这些参数设置,可以更加灵活地计算定积分.在我们常见的函数中,参数GenerateConditions以及参数Assumpions使用较多.对于参数GenerateConditions的使用,如设置GenerateConditions-,False,则Mathematica会把被积函数中的参数当作最普通的值,不考虑其特殊情况.

例11：运行

Integrate[x^n,{x,0,1},GenerateConditions-,

False得1/n+1.不加参数GenerateConditions-,False的计算结果参看例17.

2.3 数值积分的计算

在Mathematica中,当积分算不出准确值时,我们可以通过NIntegrate[f[x],{x,a,b}]求近似值.而且对于命令Integrate能够计算的,NIntegrate也能计算；有些函数不能用Integrate计算的,用函数NIntegrate还能计算.

对于NIntegrate命令的一个重要的作用是能处理被积函数无界的函数,函数NIntegrate在积分区间内自动检查被积函数有无瑕点,因此对无界函数仍可直接用NIntegrate命令计算.NIntegrate[f,{x,xmin,xmax}]会从xmin到xmax积分f,在每个点检查其奇异性.

该提示表明x等于0为被积函数的瑕点.我们只要加入0作为中间点,就可以计算其数值解了.

运行NIntegrate[1/Sqrt[Abs[x]],{x,-1,0,1}]得4.

在7.0以上版本下运行

NIntegrate[1/Sqrt[Abs[x]],{x,-1,1}]

可以直接得出结果4.

除此之外,数值积分不但可以求近似解,而且还可以设置参数WorkingPrecision的值控制输出结果的精度.

2.5 重积分的计算

对于重积分的计算,在Mathematica中,处理方式与定积分相似,只是在处理多个变量积分时,需要给出它们各自的取值范围.

2.6 重积分的可读性计算

运用Integrate求解重积分的确方便快捷.但不足之处是没有体现积分过程.那么运用Mathematica求解积分,到底能不能将其过程展现出来呢?我们的答案是肯定的.只是在求解过程中,要运用到更多的参数选项.其命令格式相对较复杂.

参考文献：

[1]王绍恒.利用Mathematica与Lingo求解优化问题之比较[J].重庆三峡学院学报,2007（3）.

[2]嘉木工作室编.Mathematica应用实例教程[M].北京：机械工程出版社,2002.

[3][美]D.尤金.Mathematica使用指南[M].邓建松,彭冉冉,译.北京：科学出版社,2002.

[4]郝艳莉,张滨燕.数学软件Mathematica在高等数学教学中的应用[J].南通航运职业技术学院学报,2009（3）.

（责任编辑：于开红）