一杯茶 一包烟 一道积分做一天

大家吼呀

我是搞积届的一名小学生Renascence_5，同时也是高等数学吧的大吧主之一。

最近有不少人问我，要怎么学玩好积分，解决一些难度很高的积分。今天就给大家来分享一下我搞积的心路历程和一些建议。

先放个积分镇一镇，提升逼格乁(๑˙ϖ˙๑乁)

首先明确的一点就是，这篇文章只是针对搞积爱好者，并不针对要应付考试的人！下面开始正题。

我大概是从高二开始接触的积分，因为那时候也要学简单的微积分嘛，渐渐的就喜欢上了搞积，就拿来了高等数学的书开始自学。这就是我要告诫新人非常重要的一点，一定要学会自学，因为没有老师会去专门教你解决积分的，后面需要查阅的各种文献资料都是需要你去自学的。

说回我自己，那时刚接触积分的时候，课本上的简单积分已经满足不了我了，于是我就到网上去搜，无意间就来到了高数吧，也接触到了无数的大神，比如p神，飞天舞大神，creasson，耶路教授等等，见识了原来积分也能如此复杂！所以我推荐大家，如果你有了一定的积分基础，非常建议你去高等数学吧的精品区看一看，有非常多的干货值得你去学习！

后来，我又接触到了国外的数学论坛Stack Exchange，又结实了一些大神，这里给大家推荐几位，David H,Jack D'Aurizio,robjohn,Olivier Oloa,Lucian,Tunk-Fey,这几位大神曾经都或多或少的帮我解决了一些问题。可以去他们的历史解答记录里去学习一番。这个数学论坛如果你觉得你的英文水平还过得去，我是非常推荐去的，ios和安卓都有app，学术氛围非常的好，数学的各个领域的模块在里面都有，还有其他的学科，当然，这里是非常不欢迎伸手党的。曾经还有一个数学论坛就是Integrals and Series，但是不知道怎么回事后来换了服务器之后，就变得很难用了，就不给大家推荐了。

再到后来，到了2016年，也就是我成为高等数学吧吧主的这一年，我就正式踏上了搞积的道路，举行了第一季积分竞赛，到19年一共举行了十季，这些也都可以在高等数学吧的精品区找到。后续，我也会着手开始整理这些问题的解答。

好了，说完我自己，就来说说给新人或者正在搞积的积佬的一些建议。首先，做什么事，基础最重要！作为解决积分的基本方法，分部积分和换元法是贯穿始终的，这两种方法不论在任何难度的积分中，都有可能用到，有时候，合理的变量代换，能大大的减少运算量，当然这些都需要熟能生巧，也需要一定的计算能力，这里就很推荐大家去做一做《吉米多维奇》，里面的大多数题目计算量都非常大，非常适合积佬练习。

打牢基础，这是不可或缺的，没有牢固的基础，你去做难题也是睁眼瞎。当你有了一定的基础，就可以继续向上学习，比如三类欧拉代换，区间再现，组合积分，含参积分，这些都是解决一般难度积分常用的方法，比如下面这题，应用一般方法，很难输出原函数，但是利用组合积分，便可以迎刃而解。

有些看似不初等的积分，其实利用区间再现，也就是平时遇到的倒代换，负代换等变换方法，也能轻松解决。说到不初等，这是很多新人遇到的一个难题，有些不初等积分也许是出错了，有些就是认为断章取义。当我们遇到一个比较难的积分时，尤其是不定积分，为了不浪费自己和大家的时间，可以利用数学软件来判断一下是否初等，这里给大家推荐WolframAlpha，非常强大的数学引擎，也有网页版。电脑端也更推荐Mathematica。不过有时候它们在计算某些积分是也并不能准确的给出初等形式，就比如二项微分式积分，这种类型的积分，大家可以利用切比雪夫定理自行判断。

当我们有了一定的搞积水平之后，就可以进军特殊函数，这里涉及的东西就非常非常多了，有一个特殊函数是建议大家一定要掌握的，那就是伽马函数以及与它相关的贝塔函数。伽马函数是在高数课本中出现的，也是我们接触到的第一个特殊函数，在概率论中也经常遇到，也是平时在做积分是最常遇到的特殊函数之一，多的就不说，就建议大家把伽马函数的一些性质都记住就可以了，最后再给大家推荐相关书籍。其他的特殊函数，诸如zeta函数，超几何函数等，没有必要去深入了解，能知道它的定义和在积分方面的应用即可。这也是我需要强调的一点，有些新人，下意识的就去死记硬背，这么多特殊函数的性质和公式，你去都背过根本没有必要。我们搞积不是去考试，我们是可以查阅资料的，在做积分时，我们能记住基本的性质概念就可以了，用到其它知识知道去哪里查阅就行，做的题多了，自然懂得也就多了。

再说到做题的方面，我非常建议大家在搞积的初期，我建议大家一定要写全完整的步骤，尽量不要跳步，做题的思路都是一点点锻炼出来的。大家在平时做题的时候或者在网络上做题的时候，可以把你认为好的题目保存下来，分类整理，方便之后遇到同类型的题目时去查看，像我，电脑+手机里存的积分有关的图片，大概有1w+了。接下来我要说的，还是熟能生巧，这是非常重要的一点，我在帮别人解题的时候，经常听别人说，哎呀，你这个方法我怎么想不到呢。说白了就是没真懂，我们不是为了解决一道积分而搞积，我们要懂得其中的道理，这道题为什么这么做，做每一道题都是如此，重要的不是结果，而是你得出这个结果的过程！做题的方法是靠一道题一道题积累出来的，遇到不会的题，做的困难的题，多找一些同类型的题做，做熟练了，水平也就上去了。

最后，给大家推荐一些搞积当面的书籍，供大家参考。

1.Table of Integrals,Series,and Products

这本书也是我们俗称的积分大典，包含了大量的积分公式，从初等函数到特殊函数应有尽有。同时在书的后半部分，也有对一些常用特殊函数的简单介绍，可以说是非常适合积佬拥有的一本书。

2.Handbook of Special Functions

从书名就可以看出，这本书主要就是介绍的特殊函数及其相关积分，这本书中有非常多非常不错的积分，大部分都没有在积分大典中出现过。

3.(Almost) Impossible Integrals,Sums, and Series

全书都是干货，500多道题，积分和级数，各种难度应有尽有，并附有详细解答！积佬必备！

4.Limits,Series, and Fractional Part Integrals

同样是一本全是干货的书

5.特殊函数概论

学习特殊函数最好的书之一，包含了常用的大多数特殊函数，讲的非常的详细。非常适合有一定基础的积佬看。

6.Polylogarithms and Associated Functions

一本专门讲多重对数函数的书，涉及了多重对数函数几乎所有的知识，非常适合喜欢对数积分的积佬。

好的书还有非常多，这里就只推荐我个人认为比较适合积佬去看的几本书。

这篇文章说的肯定是不全面的，只是我个人的一些小小心得和自己总结的方法，更多的也欢迎大家在评论中补充。我写这个的目的就是不想让一些搞积新人去有一些弯路，当然也不是请大家去痴迷搞积。

最后的最后，也欢迎大家多多关注高等数学吧的积分级数每日一题，更多好玩的题目等着你！！也欢迎大家私信给我提供好的题目并附上答案！

不要忘了给我三连🦆🦆🦆🦆