Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t d t   . ( x > 0 ) \Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dt\,.(x>0) Γ(x)=∫0∞​tx−1e−tdt.(x>0)

Γ ( x + 1 ) = x Γ ( x ) \Gamma(x+1)=x\Gamma(x) Γ(x+1)=xΓ(x)

prove：可以采用分部积分得到 Γ ( x + 1 ) = ∫ 0 ∞ t x e − t d t   = − t x e − t ∣ 0 ∞ + x ∫ 0 ∞ e − t t x − 1 d t = x ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t d t = x Γ ( x ) \begin{aligned} \Gamma(x+1)&=\int_0^\infty t^{x}e^{-t}dt\,\\ &=-t^xe^{-t}|_0^\infty+x\int _0^\infty e^{-t}t^{x-1}dt\\ &=x\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dt\\ &=x\Gamma(x) \end{aligned} Γ(x+1)​=∫0∞​txe−tdt=−txe−t∣0∞​+x∫0∞​e−ttx−1dt=x∫0∞​tx−1e−tdt=xΓ(x)​

由 Γ ( 1 ) = Γ ( 2 ) = 1 \Gamma(1)=\Gamma(2)=1 Γ(1)=Γ(2)=1

Γ ( 1 2 ) = ∫ 0 ∞ t − 1 2 e − t d t   \Gamma(\frac1{2})=\int_0^\infty t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt\,\\ Γ(21​)=∫0∞​t−21​e−tdt

令t= x 2 x^2 x2,可得到

Γ ( 1 2 ) = 2 ∫ 0 ∞ e − x 2 d x   \Gamma(\frac1{2})=2\int_0^\infty e^{-x^2}dx\, Γ(21​)=2∫0∞​e−x2dx 然后两边平方，右边可以化成二重积分计算,因为积分变量是可以换的（表达形式不一样） 化为二重积分的时候，注意区间，讨论的是x>0,y>0., Γ \Gamma Γ函数只有在正半轴有定义，但可以利用递推关系式定义x