1、不定积分 微分法微分法:)?()( xF积分法积分法:)()?(xf 互逆运算互逆运算 二二 、不定积分的性质、不定积分的性质 一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念 三三 、基本积分表（、基本积分表（）第22讲 不定积分的概念 第4章 一、一、 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念1.引例引例 一质点一质点(质量为质量为 m) 的作下，的作下，tAFsin 沿直线运动沿直线运动 ,).(tv问题问题:知知,sin)(tmAtv 求求?)( tv在变力在变力求质点运动速度求质点运动速度由牛顿第二定律由牛顿第二定律, 加速度加速度mFta )(tmAsin ,cos x ）

2、（Cx sin,2xe ）（Cex 222. 原函数定义原函数定义定义定义 1 若函数若函数 F (x) 及及 f (x)在区间在区间 I 上满足上满足)()(xfxF 在区间在区间 I 上的原函数上的原函数 .则称则称 F (x) 为为f (x) 3. 原函数的个数及原函数之间的关系原函数的个数及原函数之间的关系 （1假设假设 F (x) 为f (x) 的原函数， 那那么么 F (x) +C亦然；（2假假设设 F (x)、G(x) 均为f (x) 的原函数， G(x)=F (x) +C那那么么证证)()( )()(xFxGxFxG 0)()( xfxfCxFxG )()(故故结论结论则则的的

3、一一个个原原函函数数是是若若,)()(xfxF原函数的一般表达式原函数的一般表达式( C ：任意常数：任意常数 ) .问题问题: 原函数存在的条件? 定理定理 ,)(上上连连续续在在区区间间若若函函数数Ixf上上在在则则Ixf)( 存在原函数 .初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上连续则必有原函数则必有原函数4. 原函数存在定理原函数存在定理CxF )()(xf是是5. 不定积分定义不定积分定义)(xf的含有任意常数项的的含有任意常数项的Ixf在在称为称为)(上的不定积分上的不定积分,d)(xxf 记作记作CxF )(在区间在区间 I 上上， CxFxxf)(d)(定义定义2原函数原函

4、数即即被积函数被积函数积分号积分号积分变量积分变量被积表达式被积表达式( C 为任意常数为任意常数 ).积分常数积分常数注注),()()(xFxfdxxf的的一一个个原原函函数数只只需需求求，求求 否否正正确确，只只需需检检验验：所所求求不不定定积积分分的的结结果果是是)()(xfCxF ？如如 xxdsinCx cos即若即若, )()(xfxF 那那么么CxFxxf )(d)(不可丢不可丢 !)cos( Cxxsin )(xFy 6. 不定积分的几何意义不定积分的几何意义)(xf原函数的图形原函数的图形)(xf的图形：的图形：所有积分曲线组成所有积分曲线组成的平行曲线族的平行曲线族.yxo

5、 CxFxxf)(d)(：)(xFy )(xf的积分曲线族的积分曲线族. )(xf的积分的积分注注CxFy )(CxFy )(的积分曲线的积分曲线.0 x曲线族是曲线族是 f (x) 的的例例1xx d求解解xxx2123)32(Cx 2332原式例例2xxd112求解解211)(arcsinxxCxarcsin原式例例3xxx1) 1(1 )ln(Cxdxx)ln(1xxd1求解解xx1)(lnCxdxxln1x 0时时在在0, +）内，有：）内，有：x 0时时在在0, +）内，有：）内，有：Cx ln原式例例4 设曲线通过点设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线且其上任一

6、点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程求此曲线的方程解解 xy2 xxyd2 Cx 2所求曲线过点所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有故有C 2121 C因此所求曲线为因此所求曲线为12 xyyxo)2, 1 ().(xfy ox质点在距地面质点在距地面0 x处以初速处以初速0v 取取 x轴轴 （向上）：运动轨迹处，（向上）：运动轨迹处，)(txx 初时刻初时刻:,0 t初位移初位移:初速：初速：,0 x设时刻设时刻 t 质点位置：质点位置：, )(txx 那那么么)(ddtvtx (运动速度运动速度)tvtxdddd22 g (加速度加速度).0v

7、垂直上抛垂直上抛 , 不计阻不计阻 先由此求)(tv解解 (2) 建坐标系建坐标系.再由此求再由此求)(tx例例5力力, 求它的运动规律求它的运动规律. )0(0 xx . )(tv,ddgtv 由由知知tgtvd)()( 1Ctg ,)0(0vv 由由,01vC 得得0)(vtgtv tvtgtxd)()(0 20221Ctvtg ,)0(0 xx 由由,02xC 得得故运动规律为故运动规律为00221)(xtvtgtx 由由)(ddtvtx ,0vtg 知知故故ox)0(0 xx )(txx (2) 求求二、不定积分的性质二、不定积分的性质1.不定积分运算与导数不定积分运算与导数性质性质1

8、 （互逆运算）（互逆运算）)()d)(ddxfxxfx 即即（或微分运算的互逆关系（或微分运算的互逆关系 ),()(dd) 1 (xfCxFx CxFxxf)(d)(xxfxxfd)()d)(d( 亦亦即即抵消抵消与与 d,)(d)()2( CxFxxF.)()(d CxFxF相相差差一一个个常常数数抵抵消消与与,d )()(xfxF 2. 线性运算性质线性运算性质 xxfkd)(1 ）（xxgxfd)()(2 ）（ xxfkd)( xxgxxfd)(d)(性质性质2线性运算推论线性运算推论, )()(1xfkxfinii 那那么么 假设xxfkxxfiniid)(d)(1 例例6).(,co

9、s21)()(0, 1)0(, 0)()()(xfxxFxfxFxFxfxF求求时时，有有当当的的原原函函数数，为为设设 解解)()(xfxF 依题设，知依题设，知得得代代入入,cos21)()(xxFxf xxFxFcos)()(2 ,cos )(2xxF 即即xxxFdcos)(2 Cx sin, 1, 1)0( CF得得由由0)( xF又又1sin)( xxF.1sin2cos)( xxxf故故 xkd)1( k 为常数为常数)Cxk xxd)2(Cx 111 xxdCx ln时时0 x)1( )ln()ln( xxx1 )( x11 x三、三、 基本积分表（基本积分表（）积分表（积分表

10、（）续）续1 21d)3(xxCx arctan xxdcos)4(Cx sin xx2cosd)5( xxdsec2Cx tan（或（或）Cx cotarc 21dxxCx arcsin（或（或）Cx cosarc xxdsinCx cos xx2sind xxdcsc2Cx cot211x ）（xarctanx2sec ）（xtan积分表（积分表（）续）续2 xxxdtansec)6(Cx sec xxxdcotcscCx csc xexd)7(Cex xaxdCaax ln2shxxeex Cx ch xxdchCx sh xxdsh)8(2chxxeex xxtansec ）（xsec

11、xa ）（aaxln 例例7xxxxd)1cos32(12 ）（xxxxxxd1dcos3d122 Cxxx 1sin3ln2xexxd)5(22 ）（xexxd25)2()2ln()2(eex 2ln25x C 由线性性由线性性Caaxaxx lnd例例8xxxd)2(1 ）（ xxxxd2d2123Cxx 23253452 3d2xxx）（xxd34 134 Cx 313C 134x小小结结2 套用基本积分公式套用基本积分公式（基本积分法）（基本积分法）1 拆项、整理用分配律、线性性）拆项、整理用分配律、线性性）Cxxx 1d1xxxxxd)1(1122 ）（xxxxxd)1()1(22

12、xxd112 xxd1 xarctan Cx ln分子迎合分母分子迎合分母例例9xxxd1224 ）（xxxd11)1(24 xxxxd11)1)(1(222 Cxxx arctan313 221dd)1(xxxx（有理函数的积分分子迎合分母（有理函数的积分分子迎合分母小结小结例例10 xxdcot12）（xxd1csc2 ）（x2csc ）（xcot xx cotC xxxxdsincos2cos2）（xxxxxdsincossincos22 xxxdsincos）（Cxx cossin用三角公式变形用三角公式变形 分子迎合分母分子迎合分母基本积分表的推广基本积分表的推广定理定理假假设设,)

13、(d)(CxFxxf 那那么么,)(d)(CuFuuf 其中其中xxu）（ 是是的任一导数连续的函数的任一导数连续的函数.例例8Cxxx sindcosCuuu sindcos 2xuCxxx 222sindcos xeuCeeexxx sindcos)(sin2 x2cos2xx xxxd2d2 ）（验证：验证： ）（xuCxxx )(sin)(dcos）（备选题备选题. 求下列积分求下列积分.cossind)2(;)1(d)1(2222 xxxxxx提示提示)1(1)1(1)1(2222xxxx xxxx2222cossincossin1)2( xx22cscsec xx22cossin 22111xx )(2x 2x 例例2-1解解 开开始始作作直直线线运运动动设设一一质质点点以以速速度度,cos2ttv ，求求质质点点的的运运动动规规律律。时时质质点点的的位位移移为为0s的的函函数数关关于于时时间间位位移移质质点点的的运运动动规规律律就就是是指指ts ,tss 依依题题意意有有 ttstvcos2dd cxtxtssin2dcos2）（从从而而，）（由由条条件件00ss于于是是质质点点的的运运动动规规律律为为0sin2)(stts 0sc 代代入入上上式式得得例例2-2 火车进站时火车进站时,需要逐渐减速需要逐渐减速, 设火车减速时的设