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积分入门
积分是把片相加来求整体。 积分可以用来求面积、体积、中点和很多其他有用的东西。要了解积分,最简单是从求 函数曲线下面的面积开始。像这样: y = f(x) 下面的面积是多少? 片我们可以求函数在几点的值,然后把宽度为Δx的片的面积加起来(但答案不会很精确): 我们可以使 Δx 非常小,然后 把很多片的面积加起来(答案比上面的好一点):
当片的 宽度趋近零时,答案也趋近正确的面积。 我们用 dx 来代表趋近零的宽度 Δx。 有很多块片要相加!可是,我们不需要做加法,有个 "捷径"。因为…… …… 求积分与求导数是相反的。 (所以你需要先了解 导数!) 如下: 例子:2x 的积分是什么?
我们知道 x2 的导数是 2x ……
…… 所以 2x 的积分是 x2 下面有更多例子。 记法"积分" 的符号像英语字母 "S" (源自英语 "Sum"(总和)): 把要求积分的函数(叫被积函数)放在积分符号后面, 最后放 dx 来代表积分的方向是 x(片沿 x 的宽度趋近零)。 我们这样写答案: 加 C答案我们已经写了 x2,但为什么要加个 + C? 这个叫 "积分常数"。我们需要把它写上,因为有很多函数的导数都是 2x:
x2+4 的导数是 2x,x2+99 的导数也是 2x,…… !因为常数的导数是零。 当我们把计算 倒转 来求积分时,我们只知道 2x,但其实答案可以有任何一个常数。 所以我们需要在答案后面加上 + C。 水龙头和水箱 积分就像用水龙头向水箱注水。 输入(积分前)是龙头的流速。 把水流积分(把水流一小点一小点地加起来)的结果是水箱里的水的体积。
想象流速从 0 开始,逐渐增大(可能有个机器控制着水龙头)。 刘率越来越大,注水也越来越快。 如果流速是 2x,水箱注满的速度是 x2。 我们把流速积分可以得到体积。 例子:3 分钟后(x=3)(假设流速的单位是升每分钟): 流速是 2x = 2×3 = 6 升每分钟, 体积达到 x2 = 32 = 9 升。
我们也可以反过来做:
想象你不知道流速。 你只知道体积以 x2 的速度增加。 我们可以反过来做(用导数来求坡度),而得到流速为 2x。 例子:2 分钟后,体积的坡度是 4,意思是它以每分种 4 升的速度增大(=流速)。同样,在 3 分钟时,坡度是 6,等等。 所以积分和导数是相反的。 我们可以这样写下来: 流速 2x 的积分是水的体积: ∫2x dx = x2 + C体积增大的坡度 x2+C 是流速: (x2 + C) = 2x
这例子也可以解释上面讲的常数 "C……可能水箱里本来已经有一点水! 流速即注水的速度还是一样 体积增大可以用来求流速。所以我们一定需要加上 "+ C"。 其他函数详细分析 y=2x 后,我们现在来看看其他函数。 如果我们已经知道函数是另一个函数的导数,我们便已知道答案(因为积分和导数是相反的)。可是……不要忘了加 C。 例子:∫cos(x) dx 是什么?在 导数法则表 里,sin(x) 的导数是 cos(x),所以: ∫cos(x) dx = sin(x) + C 其实很多这种 "倒转" 都已经做好了(去看 积分法则)。 例子:∫x3 dx 是什么?在 积分法则 的 "幂次方法则" 说明: ∫xn dx = xn+1/(n+1) + C 用这个法则,设 n=3: ∫x3 dx = x4 /4 + C 懂得合适需要用积分法则是熟悉积分运算的重点. 所以……好好学习积分法则,并且做很多练习。 学好积分法则。练习! 练习! 练习! (下面有练习题) 定积分与不定积分我们上面做的都是不定积分。 定积分 有下限和上限的值(写在 "S" 符号的下面和上面): 不定积分 定积分去看看 定积分 来了解更多。 积分法则 微积分索引 |
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