判断下面一段论述是否为真：“ π是无理数．并且如果3是无理数，则 2 \sqrt 2 2 ​ 另外 只有 6 能被 2 整除 ，6 才能被 4 整除．”

解答：

命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。

（格式丑字丑，见谅）由于是第一章节习题所以使用真值表进行计算

设A,B都是含命题变项p1,p2,…pn的公式,已知A∨B是矛盾式,证明当且仅当A与B都是矛盾式。

定义 2.10 设G为公式: (1) 如果G在所有解释下都是真的，则称G是恒真式(或称G是重言式，永真式); (2) 如果G在所有解释下都是假的，则称G是恒假式(或称G是矛盾式，永假式); (3) 如果G不是恒假的，则称G是可满足式。

注意： (1) 恒真公式的真值表的最后一列全为1，恒假公式的最后一列全为0，可满足公式的最后一列至少有一个1。 (2) 恒真公式一定是可满足的，可满足的不一定是恒真的。

7、15、29、33

定义2.5 所有简单合取式，都是极小项的析取范式，称为主析取范式。 所有简单析取式，都是极大项的合取范式，称为主合取范式。

定理2.3（范式存在定理） 任何命题公式都存在与之等值的析取范式与合取范式。 对主析取范式主合取范式求解不太理解的可以看看下面这个例子

(1) (p∧q)∨r (2) (p→q)∧(q→r)

(1) 这里是解答 ⇔(p∧q∧(¬r∨r))∨((¬p∨p)∧(¬q∨q)∧r) 补项。 ⇔((p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r))∨((¬p∨p)∧(¬q∨q)∧r) 分配律。 ⇔(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨((¬p∨p)∧(¬q∨q)∧r) 结合律。 ⇔(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨((¬p∧(¬q∨q)∧r)∨(p∧(¬q∨q)∧r)) 分配律。 ⇔(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨(¬p∧(¬q∨q)∧r)∨(p∧(¬q∨q)∧r) 结合律。 ⇔(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨((¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r))∨(p∧(¬q∨q)∧r) 分配律。 ⇔(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧(¬q∨q)∧r) 结合。 ⇔(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨((p∧¬q∧r)∨(p∧q∧r)) 分配律。 ⇔(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)∨(p∧q∧r) 结合律。 ⇔(p∧q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)∨(p∧q∧r) 等幂律。 m1∨m3∨m5∨m6∨m7 主析取式 m0∧m2∧m4主合取式

(2) 这里是解答 ⇔ (¬p∨q)∧(¬q∨r) ⇔ (¬p∨q∨(¬r∧r))∧((¬p∧p)∨¬q∨r) 补项 ⇔ ((¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨q∨r))∧((¬p∧p)∨¬q∨r) 分配律 ⇔ (¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨q∨r)∧((¬p∧p)∨¬q∨r) 结合律 ⇔ (¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨q∨r)∧((¬p∨¬q∨r)∧(p∨¬q∨r)) 分配律 ⇔ (¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨q∨r)∧(¬p∨¬q∨r)∧(p∨¬q∨r) 结合律 m1∧m2∧m3∧m5 主合取式 m0∨m4∨m6∨m7 主析取式

(1) (p→q)→r与q→(p→r) (2) ┐(p∧q)与┐(p∨q)

因为任何命题公式的主析取范式都是唯一的，因而A与B等值，当且仅当A与B有相同的主析取范式和主合取范式． 设A= (p→q)→r，B=q→(p→r) 求解 A、B、C、D的主析取范式。 A=(p→q)→r ⇔(p∧┐q)∨r ⇔((P∧┐Q)∧(R∨┐R))∨(R∧(P∨┐P)∧(Q∨┐Q))) ⇔(P∧┐Q∧R)∨(P∧┐Q┐R)∨((R∧P)∨(R∧┐P))∧(Q∨┐Q)) ⇔(P∧┐Q∧R)∨(P∧┐Q┐R)∨(R∧P∧Q)∨(R∧P∧┐Q)∨ (R∧┐P∧Q)∨(R∧┐P∧┐Q) ⇔(P∧┐Q∧R)∨(P∧┐Q┐R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧┐Q ∧R)∨ (┐P∧Q ∧R)∨(┐P∧┐Q∧R)(上式整理后) ⇔m1∨m3∨m4∨m5∨m7 B=q→(p→r) ⇔￢q∨￢p∨r ⇔￢p∨￢q∨r ⇔M6 ⇔m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7 (1)(p→q)→r与q→(p→r)不等值

在某班班委成员的选举中，已知王小红、李强、丁金生 位同学被选迸了班委会该班的甲 ．乙，丙三名学生预言如下． 甲说：王小红为班长，李强为生活委员． 乙说：丁金生为班长，王小红为生活委员 丙说：李强为班长，王小红为学习委员． 班委会分工名单公布后发现，甲 、乙，丙 三人都恰好猜对了一半． 问：王小红、李强、 金生各任何职（用等值等演求解）？

设命题 a:王小红为班长 b:李强为生活委员 c:丁金生为班长 d:王小红为生活委员 e:李强为班长 f:王小红为学习委员 则 a,b当中有且只有1个为真, 即a∧b=F，a∨b=T c,d当中有且只有1个为真, 即c∧d=F，c∨d=T e,f当中有且只有1个为真, 即e∧f=F，e∨f=T 又因为a,d,f三个命题当中，有且只有1个为真（王小红只有1个职务），即 (a∧c∧e)∨(b∧d∧e)∨(b∧c∧f)=T ① （枚举3种情况，然后析取） 而b,d不可能同时为真（生活委员只有1个），即b∧d=F 则根据①，化简得 (a∧c∧e)∨(b∧c∧f)=T ② 而a,c,e三个命题当中，也有且只有1个为真（班长只有1个），即 a∧c∧e=F，代入②，得到 b∧c∧f=T 从而 b=c=f=T 即 李强为生活委员， 丁金生为班长， 王小红为学习委员

(1)p∧(┐p∨┐q)∧q (2)(p∨q)∧(p∨┐q)∧(┐p∨r)

这是百度文库的答案（因为这些符号太难打了）