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1、1离散数学离散数学第1页2第五章第五章 图基本概念图基本概念5.1 无向图及有向图5.2 通路、回路、图连通性5.3 图矩阵表示5.4 最短路径及关键路径第2页35.1 无向图及有向图无向图及有向图123（1）123（2）abdxy（3）注：在离散数学中，我们只关心点之间是否有连线，而 不关心点位置，以及连线曲直。这是离散数学 中图与几何学中图本质区分。第3页45.1 无向图及有向图无向图及有向图一、无序积定义设A、B为任意两个集合，称a,b|aA bB为A与B无序积无序积，记作AB，并将a,b记作(a,b)。而且不论a、b是否相等，都有(a,b)=(b,a)，所以AB=BA。注：迪卡尔乘积定

2、义与无序积定义区分。第4页55.1 无向图及有向图无向图及有向图二、无向图定义(定义5.1)一个无向图是一个有序二元组，记作G，其中(1)V称为顶点集顶点集，其元素称为顶点顶点或结点结点。(2)E为边集边集，它是无序积VV多重子集，其元素称为 无向边无向边，简称边边。123无向图G=:V=1,2,3,E=(1,1),(1,2),(2,3)。第5页65.1 无向图及有向图无向图及有向图三、有向图定义(定义5.2)一个有向图是一个有序二元组，记作D，其中(1)V称为顶点集顶点集，其元素称为顶点顶点或结点结点。(2)E为边集边集，它是迪卡尔积VV多重子集，其元素称 为有向边有向边，简称边边。123有

3、向图D=:V=1,2,3,E=,。第6页75.1 无向图及有向图无向图及有向图 1 2 3 4 5e6e1e2e3e4e5e7(a)3e2abcde1e3e4e5e6e7(b)(1)G(1)G泛指图，泛指图，D D只能表示有向图，只能表示有向图，V(G)V(G)、E(G)E(G)分别分别 表示图表示图顶点集顶点集和和边集边集，|V(G)|V(G)|、|E(G)|E(G)|分别分别 表示图表示图顶点数顶点数和和边数边数，若，若|V(G)|=n|V(G)|=n，则称，则称G G为为 n阶图阶图。(2)(2)当当|V(G)|V(G)|与与|E(G)|E(G)|均为有限数，则均为有限数，则G G为为有

4、限图有限图。(3)(3)在图在图G G中，若边集中，若边集E(G)=E(G)=，则称，则称G G为为零图零图，此时，此时 又若又若G G为为n n阶图，则称阶图，则称G G为为n阶零图阶零图，记作，记作N Nn n，特，特 别是称别是称N N1 1为为平凡图平凡图。顶点集。顶点集V(G)=V(G)=图为图为空图空图。第7页85.1 无向图及有向图无向图及有向图 1 2 3 4 5e6e1e2e3e4e5e7(a)3e2abcde1e3e4e5e6e7(b)(4)(4)设设e ek k=(v=(vi i,v,vj j)为无向图为无向图G=G=中一条边，称中一条边，称 v vi i,v,vj j为

5、为e ek k端点，端点，e ek k与与v vi i(或或v vj j)是是彼此关联彼此关联。无边关联点称为无边关联点称为孤立点孤立点。若。若v vi i=v=vj j，则称，则称e ek k为为 环。若环。若v vi i v vj j，则称，则称e ek k与与v vi i(或或v vj j)关联次数关联次数为为1 1；若若v vi i=v=vj j，称，称e ek k与与v vi i关联次数关联次数为为2 2；若；若v vi i不是不是e ek k 端点，则称端点，则称e ek k与与v vi i关联次数关联次数为为0 0。(5)(5)无向图无向图G=G=，v vi i,v,vj j V

6、 V，e ek k,e,el l E E。若存在一。若存在一 条边条边e e以以v vi i,v,vj j为端点，即为端点，即e=(ve=(vi i,v,vj j)，则称，则称v vi i,v,vj j 是是彼此相邻彼此相邻，简称，简称相邻相邻；若；若e ek k，e el l最少有一最少有一 个公共端点，则称个公共端点，则称e ek k，e el l是是彼此相邻彼此相邻，简称，简称相相邻邻。第8页95.1 无向图及有向图无向图及有向图 1 2 3 4 5e6e1e2e3e4e5e7(a)3e2abcde1e3e4e5e6e7(b)(7)(7)设有向图设有向图D=D=，V V，称，称 u|uu

7、|u V V u,E E u u 为为 后继元集后继元集，记作记作+D D()，称，称u|uu|u V V ,u E E u u 为为 前驱元集前驱元集，记作，记作-D D()。称。称+D D()-D D()为为 邻域邻域，记作，记作N ND D()。称。称N ND D()为为 闭邻闭邻 域记作域记作闭邻域闭邻域，记作，记作N ND D()。(6)(6)设无向图设无向图G=G=，V V，称，称 u|uu|u V V (u,(u,)E E u u 为为 邻域邻域，记作，记作N NG G()，并称，并称N NG G()为为 闭邻域闭邻域，记作，记作N NG G()。称。称e|ee|e E E e

8、e与与 相关联相关联 为为 关联集关联集，记作，记作I IG G()。第9页105.1 无向图及有向图无向图及有向图四、度定义(定义5.5)设G=为一无向图，V，称 作为边端点次数之和为 度数度数，简称度度，记作dG()，在不发生混同时，简记d()。设D=为有向图，V，称 作为边始点次数之和为 出度出度，记作d+D()，简记作d+()。称 作为边终点次数之和为 入度入度，记作d-D()，简记作d-()。称d+()+d-D()为 度数度数，记作d()。度数为1顶点为悬挂顶点悬挂顶点，它所对应边为悬挂边悬挂边。第10页115.1 无向图及有向图无向图及有向图在无向图G中，令(G)=max(d()|

9、V(G)(G)=min(d()|V(G)称(G)，(G)分别为G最大度最大度和最小度最小度。第11页125.1 无向图及有向图无向图及有向图在有向图D中，令+(D)=max(d+()|V(G)+(G)=min(d+()|V(G)-(D)=max(d-()|V(G)-(G)=min(d-()|V(G)称+(G)，+(G)，(G)，(G)分别为G最大出度、最大出度、最小出度、最大入度和最小入度最小出度、最大入度和最小入度。第12页135.1 无向图及有向图无向图及有向图五、握手定理(定理5.1-5.2)设G=为任意无向图，V=1 1,2 2,n n，|E|=m，则设D=为任意有向图，V=1 1,2

10、 2,n n，|E|=m，则注：任图(有向图和无向图)中，奇度顶点个数是偶数。=-+=niniiiniimddmd111)()(2)(nnn且=niimd12)(n第13页145.1 无向图及有向图无向图及有向图六、度数序列定义设V=1 1,2 2,n n为图G顶点集，称d(1 1),d(2 2),d(n n)为G度数序列。1 2 3 4 5e6e1e2e3e4e5e7(a)3(a)G度数序列为(4,4,2,1,3)e2abcde1e3e4e5e6e7(b)(b)D度数序列为(5,3,3,3)第14页155.1 无向图及有向图无向图及有向图例1：(1)(3,3,2,3),(5,2,3,1,4)

11、能称为图度数序列吗？为何？(2)已知图G中有10条边，4个3度顶点，其余顶点度数 均小于等于2，为G中最少有多少个顶点，为何？第15页165.1 无向图及有向图无向图及有向图七、度数序列是否可图化定理设非负整数列d=d1,d2,dn，则d是可图化当且仅当=niid1)2(mod0第16页175.1 无向图及有向图无向图及有向图八、多重图、简单图定义(定义5.6)在无向图中，关联一对顶点无向边假如多于1条，则称这些边为平行边平行边，平行边条数称为重数重数。在有向图中，关联一对顶点有向边假如多于1条，而且这些边始点与终点相同，则称这些边为平行边平行边。含平行边图称为多重图多重图，既不含平行边也不含

12、环图称为简单图简单图。第17页185.1 无向图及有向图无向图及有向图九、完全图定义（定义5.）设G为n阶无向简单图，若G中每个顶点均与其余n-1个顶点相邻，则称G为n阶无向完全图阶无向完全图，简称n阶完全图阶完全图，记作Kn(n1)。设D为n阶有向简单图，若D中每个顶点均邻接到其余n-1个顶点，又邻接于其余n-1个顶点，则称D是n阶有阶有向完全图向完全图。第18页195.1 无向图及有向图无向图及有向图例2：以下图中是完全图？abdc(1)e 3 1(2)4 2 5(3)(5)（6）(4)第19页205.1 无向图及有向图无向图及有向图十、母图与子图定义（定义5.8）设G=，G=为两个图(同

13、为无向图或同为有向图)，若VV且EE，则G是G子图子图，G为G母母图图，记作GG，又若VV或EE，则称G为G真真子图子图，若V=V，则称G为G生成子图生成子图。第20页215.1 无向图及有向图无向图及有向图例5：以下图中那些图含有子图、真子图、生成子图关系？1e1 2 3 4e2e3e4e5(1)1e4 2e5(2)1e1 2 3 4e3e4(3)2e1 3 1e2e3e4(4)2e1 3 1e3(5)2e1 1(6)第21页225.1 无向图及有向图无向图及有向图十一、补图定义（定义5.9）设G=为n阶无向简单图，以V为顶点集，以全部使G称为完全图Kn添加边组成集合为边集图，称为G补图补图

14、，记作G。第22页235.1 无向图及有向图无向图及有向图十二、图同构定理（定义5.10）设G1=，G2=为两个无向图(两个有向图)，若存在双射函数f:V1V2，对于vi,vjV1,(vi,vj)E1(E1)当且仅当(f(vi)，f(vj)E2(E2)，而且(vi,vj)()与(f(vi),f(vj)()重数相同，则称G1与G2是同构同构，记作G1G2。第23页245.1 无向图及有向图无向图及有向图例3：(1)画出4阶3条边全部非同构无向简单图。(2)画出3阶2条边全部非同构有向简单图。第24页255.1 无向图及有向图无向图及有向图例4：以下图中那些图互为同构？abdc(1)e 3 1(2

15、)4 2 5(3)(4)(5)（6）第25页26第五章第五章 图基本概念图基本概念5.1 无向图及有向图5.2 通路、回路、图连通性5.3 图矩阵表示5.4 最短路径及关键路径第26页275.2 通路、回路、图连通性通路、回路、图连通性一、通路与回路定义(定义5.11)给定图G=.设G中顶点和边交替序列=v0e1v1e2elvl，若满足以下条件：vi-1和vi是ei端点(在G是有向图时，要求vi-1是ei始点，vi是ei终点)，i=1,2,l，则称为顶点v0到vl通路通路。v0和vl分别称为此通路起点和终点，中边数目l称为长度，当v0=vl时，此通路称为回路回路。第27页285.2 通路、回路

16、、图连通性通路、回路、图连通性二、简单通路、简单回路、初级通路、初级回路1)若中全部e1,e2,el互不相同，则称为简单简单通路通路。若回路中全部边互不相同，称此回路为简简单回路单回路。2)若通路全部顶点v0，v1，vl互不相同，则称此通路为初级通路初级通路。若回路中，除v0=vl外，其余顶点个不相同，全部边也各不相同，则称此回路为初级回路初级回路。第28页295.2 通路、回路、图连通性通路、回路、图连通性例1：指出以下图中通路、回路、简单通路、简单回路、初级通路、初级回路？1 2 4 3 0(1)1 2 4 3 0(2)1 2 4 3 0(3)7 8 5 6 1 2 4 3 0(4)7 8

17、 5 6(5)1 0=5 2 3 4(6)1 0=5 2 3 4第29页305.2 通路、回路、图连通性通路、回路、图连通性三、通路相关定理(定理5.3)在n阶图G中，若从顶点vi到vj(vivj)存在通路，则从vi到vj存在长度小于等于(n-1)通路。推理：在n阶图G中，若从顶点vi到vj(vivj)存在通路，则vi到vj一定存在长度小于或等于n-1初级 通路。第30页315.2 通路、回路、图连通性通路、回路、图连通性四、回路相关定理(定理5.4)在n阶图G中，若存在vi到自己回路，则一定存在vi到本身长度小于或等于n回路。推理：在n阶图G中，若存在vi到自己回路，则一定 存在长度小于或等

18、于n初级回路。第31页325.2 通路、回路、图连通性通路、回路、图连通性例2：无向完全图Kn(n3)中有几个非同构圈？例3：无向完全图K3顶点依次标定为a,b,c，在定义意义下K3中有过少个不一样圈？第32页335.2 通路、回路、图连通性通路、回路、图连通性五、两点之间连通性定义(定义5.12)（1）设无向图G=，u,vV，若u,v之间存在通 路，则称u,v是连通是连通，记作uv，vV，规 定vv。注：无向图中顶点之间连通关系 =|u,vV 且 u与v之间有通路 是V上等价关系。第33页345.3通路、回路、图连通性通路、回路、图连通性五、两点之间连通性定义(定义5.12)（2）设有向图D

19、=，若从顶点u到v存在通路，则 称u可达可达v，则记作uv。要求v到本身总是可达 。若uv且vu则称vi与vj是相互可达相互可达，记 作uv，要求vv。注：有向图中顶点之间相互可达关系 =|u,vV uv vu 是V上等价关系。第34页355.2通路、回路、图连通性通路、回路、图连通性六、两点之间距离定义（1）设无向图G=，u,vV，若u,v是连通,则 称u与v之间长度最短通路为u,v之间短程线短程线，短程线长度称为u与与v之间距离之间距离，记作d(u,v)。（2）设有向图D=，u,vV，若u可达v，则称从u 到v长度最短通路为u到v之间短程线短程线，短程线 长度称为u到到v距离距离，记作d。

20、第35页365.2通路、回路、图连通性通路、回路、图连通性注：完全图Kn(n1)都是连通图，而零图Nn(n2)都是分离图。七、连通图定义(定义5.13)（1）若无向图G是平凡图或G中任何两个顶点都是连通 ，则称G为连通图连通图，不然称G为非连通图非连通图。第36页375.2通路、回路、图连通性通路、回路、图连通性例4：指出以下图是否为连通图？1 2 4 3 0(1)1 2 4 3 0(2)7 8 5(4)1 0 2 3 4(3)1 0 2 3 4 7第37页385.2 通路、回路、图连通性通路、回路、图连通性八、连通图定义(定义5.14)（2）若D=为一个有向图。若D基图是连通图，则称D是弱连

21、通图弱连通图，简称为连通图连通图。若vi,vjV，vivj与vjvi最少成立其一，则称D是单向连通单向连通图图。若都有vivj，则称D是强连通图强连通图。第38页395.2 通路、回路、图连通性通路、回路、图连通性例：指出以下图是否为连通图？1 2 4 3 0(1)1 2 4 3 0(2)7 8 5(3)(4)(5)第39页405.2 通路、回路、图连通性通路、回路、图连通性九、连通分支定义设无向图G=，V关于顶点之间连通关系商集V/=V1，V2，Vk，Vi为等价类，称导出子图GVi(i=1,2,k)为G连通分支，连通分支数k常记为p(G)。1 0 2 3 4 7注：若G为连通图，则p(G)=

22、1；若G为非连通图，则p(G)1；在全部n阶无向图中，n阶零图是连通分支最多，p(Nn)=n。第40页415.2 通路、回路、图连通性通路、回路、图连通性十、点割集定义(定义5.15)设无向图G=，若存在顶点子集VV，使G删除V(将V中顶点及其关联边都删除)后，所得子图G-V连通分支数与G连通分支数满足p(G-V)p(G)，而删除V任何真子集V后，都有p(G-V)=p(G),则称V是G一个点割集点割集。若点割集中只有一个顶点v，即V=v，则称v为割点割点。第41页425.2通路、回路、图连通性通路、回路、图连通性例6：3 5 6 4 2 1e6e1e2e3e4e5第42页435.2 通路、回路

23、、图连通性通路、回路、图连通性十一、边割集定义(定义5.15)设无向图G=，若存在边集子集EE，且E，使G删除E(将e中边从G中都删除)后，所得子图连通分支数与G连通分支数满足p(G-E)p(G)，而删除E任何真子集E后，都有p(G-E)=p(G),则称E是G一个边割集边割集。若点割集中只有一个边e，即E=e，则称v为割边或桥割边或桥。第43页445.2通路、回路、图连通性通路、回路、图连通性例：3 5 6 4 2 1e6e1e2e3e4e5第44页45第五章第五章 图基本概念图基本概念5.1 无向图及有向图5.2 通路、回路、图连通性5.3 图矩阵表示5.4 最短路径及关键路径第45页465

24、.3 图矩阵表示图矩阵表示一、无向图关联矩阵定义设无向图G=，V=v1,v2,vn，E=e1,e2,em，令mij为顶点vi与边ej关联次数，则称(mij)nm为G关联矩阵关联矩阵，记作M(G)。1 2 4e1e2e3e4e5 3=1 0 0 0 01 1 0 0 00 0 1 1 00 1 1 1 2)(GM第46页475.3 图矩阵表示图矩阵表示一、无向图关联矩阵性质1.M(G)每列元素之和均为2。1 2 4e1e2e3e4e5 34.第j列与第k列相同，当且仅当ej 和ei是平行边。3.，即M(G)元素之和全部点度数之和m。mmdminimjijnii22)(1111=n=1 0 0 0

25、 01 1 0 0 00 0 1 1 00 1 1 1 2)(GM2.，即M(G)第i行元素 之和为vi度数。)(1imjijdmn=第47页485.3 图矩阵表示图矩阵表示二、无向图关联矩阵性质 1 2 4e1e2e3e4e5 35.，即M(G)第i行元素 之和0 当且仅当vi为孤立点。=1 0 0 0 01 1 0 0 00 0 1 1 00 1 1 1 2)(GM01=mjijm第48页495.3 图矩阵表示图矩阵表示三、有向图关联矩阵定义设有向图D=，中无环存在，V=v1,v2,vn，E=e1,e2,em，令 则称(mij)nm为D关联矩阵关联矩阵，记作M(D)。-=终点为不关联与始点

26、为jijijiijevevevm 1 0 1第49页505.3 图矩阵表示图矩阵表示四、有向图关联矩阵性质1.M(G)每列元素之和均为0，矩阵所 有元素之和为0。3.第i行中，正1个数等于d(vi)，负1个数等于d-(vi)。2.M(D)中，负1个数等于正1个 数，都等于边数m，这正是有向图 握手定理内容。4.平行边所对应列相同。1 2 4e4e1e2e3e5 3=1 1-1-0 0 1-1 0 0 0 0 0 1 1-1 0 0 0 1 1-)(GM第50页515.3 图矩阵表示图矩阵表示五、有向图邻接矩阵定义设有向图D=，V=v1,v2,vn，E=e1,e2,em，令 为D邻接矩阵邻接矩阵

27、，记作A(D)，或简记为A。第51页525.3 图矩阵表示图矩阵表示六、有向图邻接矩阵性质 1 2 4 31.，于是，类似地，而 。=1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 00 1 2 0)(DAmdaniininjij=+=111)1()(nnidaimiijL,2,1),(1)1(=-=nnidaimjijL,2,1),(1)1(=+=nmdaniininjij=+=111)1()(n第52页535.3 图矩阵表示图矩阵表示六、有向图邻接矩阵性质 1 2 4 32.为D中边总数，也能够 看成是长度为1通路总数。而 即M(G)第i行元素之和为vi度数。为D中环个数，即D中长 度为1回路

28、总数。=1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 00 1 2 0)(DA=niiia1)1(=ninjija11)1(第53页555.3 图矩阵表示图矩阵表示八、有向图可达矩阵定义设有向图D=，V=v1,v2,vn，令 则称(pij)nn为D可达矩阵可达矩阵，记作P。=不然可达 0 1jiijvvp第55页565.3 图矩阵表示图矩阵表示 1 2 4 3注：能够经过邻接矩阵乘法An-1生 成可达矩阵。=1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 01 1 1 1P第56页57第七章第七章 图基本概念图基本概念5.1 无向图及有向图5.2 通路、回路、图连通性5.3 图矩阵表示5.4 最短路

29、径及关键路径第57页585.4 最短路径及关键路径最短路径及关键路径一、带权图定义对于有向图或无向图G每条边附加一个实数w(e)，则称w(e)为边e上权权。G连同附加在各边上实数称为带权图带权图。常记带权图为G=。全部边权之和称为图权图权，记作W(G)。当无向边e=(vi,vj)或有向边e=时，w(e)可记为wij。第58页595.4 最短路径及关键路径最短路径及关键路径二、最短路径定义设带权图G=。中每条边带权均大于等于，u,v为G中任意两个顶点，从u到v全部通路中带权最小通路称为u到v最短路径最短路径，求两点之间最短路径问题称为最短路径问题最短路径问题。第59页60三、图带权邻接矩阵定义设

30、图G=，V=v1,v2,vn，E=e1,e2,em，令 则称(mij)n为G带权邻接矩阵带权邻接矩阵，记作M()。=无边为有边到jijiijvvvvm 0 i=j wij5.4 最短路径及关键路径最短路径及关键路径第60页61四、最短路径算法1.S为已找到从v出发最短路径终点集合，它初始状态为空集。从v出发到图上其余各顶点vi可能到达最短路径长度初值为：disti=Mv,vi viV2.选择vj，使得distj=Min(disti|viV-S),vj就是当前求得一条从v出发最短路径终点。令S=Sj3.修改从出发到集合V-S上任一顶点vk可达最短路径长度。假如distj+Mj,kdistk则修改

31、distk=distj+Mj,k4.重复操作2,3共n-1次。求得从v到图上其余各顶点最短路径是依路径长度递增序列。5.4 最短路径及关键路径最短路径及关键路径第61页625.4 最短路径及关键路径最短路径及关键路径五、关键路径相关定义设D=为一个有向图，vV，称+D(v)=x|xVE为v后继元集后继元集；-D(v)=x|xVE为v先驱元集先驱元集。第62页635.4 最短路径及关键路径最短路径及关键路径五、PERT图定义设D=是n阶有向带权图，满足：D是简单图；D中无回路；有一个顶点入度为，称此顶点为发点；有一个顶点出度为，称此顶点为收点；记边带权为wij，它常表示时间；则称D为PERTPE

32、RT图图。第63页645.4 最短路径及关键路径最短路径及关键路径六、最早完成时间定义自出发点(记为v1)开始沿最长路径(按权计算)抵达vi所需要时间，称vi最早完成时间最早完成时间，记作TE(vi),i=1,2,n。TE(v1)=0，vi(i1)最早完成时间可按以下公式计算：TE(vi)=maxTE(vj)+wij，i=2,3,n收点vn最早完成时间TE(vn)，就是从v1到vn最长路径权。第64页655.4 最短路径及关键路径最短路径及关键路径七、最晚完成时间定义在确保收点vn最早完成时间不增加条件下，自v1最迟抵达vi时间称为vi最晚完成时间最晚完成时间，记作TL(vi)。TL(vn)=TE(vn)，in时，vi最晚完成时间由下面公式计算：TL(vi)=min(TL(vj)-wij)，i=1,2,n-1第65页665.4 最短路径及关键路径最短路径及关键路径八、缓冲时间定义每个顶点最晚完成时间TL(vi)与最早完成时间TE(vi)差为改点缓冲时间ES(vi)。ES(vi)=TL(vi)-TE(vi)注：关键路径为缓冲时间为顶点。第66页