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第一篇 集合论 2

第一章 集合及其运算 2

1．1 集合的概念 2

1．2 子集、集合的相等 5

1．3 集合的基本运算 9

1．4 余集、De Morgan公式 17

1．5 笛卡儿乘积 21

1．6 有穷集合的基数 26

第二章 映射 35

2．1 函数的一般概念——映射 35

2．2 抽屉原理 39

2．3 映射的一般性质 44

2．4 映射的合成 48

2．5 逆映射 52

2．6 置换 55

2．7 二元和n元运算 64

2．8 集合的特征函数 71

第三章 关系 75

3．1 关系的概念 75

3．2 关系的性质 81

3．3 关系的合成运算 87

3．4 关系的闭包 93

3．5 关系矩阵和关系图 99

3．6 等价关系与集合的划分 106

3．7 映射按等价关系分解 115

3．8 偏序关系与偏序集 118

3．9 良序集与数学归纳法 126

第四章 无穷集合及其基数 131

4．1 可数集 131

4．2 连续统集 137

4．3 基数及其比较 143

4．4 康托-伯恩斯坦定理 147

4．5 悖论、公理化集合论介绍 153

第五章 模糊集合论 163

5．1 引言 163

5．2 模糊(Fuzzy)子集的概念 165

5．3 模糊集的运算 169

5．4 隶属原则与择近原则 175

5．5 模糊关系与模糊映射 179

5．6 模糊聚类分析 185

5．7 模糊集的分解定理 189

第二篇 图论 194

第六章 图的基本概念 194

6．1 图论的产生与发展概述 194

6．2 基本定义 196

6．3 路、圈、连通图 207

6．4 补图、偶图 210

6．5 欧拉图 217

6．6 哈密顿图 222

6．7 图的邻接矩阵 229

6．8 带权图与最短路问题 235

第七章 树和割集 240

7．1 树及其性质 240

7．2 生成树 244

7．3 割点、桥和割集 253

第八章 连通度和匹配 261

8．1 顶点连通度和边连通度 261

8．2 门格尔定理 265

8．3 匹配、霍尔定理 268

第九章 平面图和图的着色 277

9．1 平面图及其欧拉公式 277

9．2 非哈密顿平面图 282

9．3 库拉托斯基定理、对偶图 286

9．4 图的顶点着色 290

9．5 图的边着色 295

第十章 有向图 298

10．1 有向图的概念 298

10．2 有向路和有向圈 302

10．3 强连通图的应用 307

10．4 有向图的邻接矩阵 310

10．5 有向树与有序树 315

10．6 判定树 322

10．7 比赛图及应用 326

第三篇 近世代数 332

第十一章 半群和幺半群 332

11．1 近世代数的特点 332

11．2 若干基本概念 335

11．3 半群与幺半群的概念 338

11．4 子半群、子幺半群、理想 345

11．5 同构、同态 349

11．6 有限字母表上的自由幺半群、语言 357

12．1 群的定义及例子 364

第十二章 群 364

12．2 群的简单性质 367

12．3 子群、生成子群 371

12．4 变换群、同构 375

12．5 循环群 379

12．6 子群的陪集、拉格朗日定理 386

12．7 正规子群、商群 389

12．8 同态基本定理 396

12．9 直积 402

第十三章 环和域 406

13．1 定义及简单性质 406

13．2 无零因子环的特征数 415

13．3 同态、理想子环 418

13．4 环的同态基本定理 423

13．5 极大理想、费马定理 426

第十四章 格 429

14．1 格的定义及其简单性质 429

14．2 对偶原理、格作为一个代数 435

14．3 某些特殊的格 442

14．4 分配格的一些性质 447

14．5 模格 451

第十五章 布尔代数 456

15．1 定义及简单性质 456

15．2 布尔代数与布尔环的等价性 462

15．3 布尔代数的理想与同构 467

15．4 有限布尔代数的表示定理 472

15．5 布尔表达式 476

15．6 布尔函数 484