包含一些给定对象，具有指定性质的最小集合

定义： 设R是集合 A 上的关系，若存在关系 R 的具有性质 P 的闭包，则此闭包是集合 A 上包含R的具有性质 P 的关系 S，并且 S 是每一个包含R的具有性质 P 的 A×A 的子集

❗ 简单来说，求 R 的具有性质P的闭包就是把R 与满足性质 P 的关系的集合取并（∪）

自反闭包： 包含给定关系R的最小自反关系，称为R的自反闭包。记作 r ( R )

(1) R ⊆ r( R ) (2) r( R )是自反的 (3) ∀S( (R⊆S ∧ S自反) → r( R )⊆S ) ！ 加上自己到自己的环

📘例： 整数集上的关系R={ (a，b) l a < b } 的自反闭包是什么？

解： R的自反闭包是 { (a,b) l a < b } U { (a,a) l a∈Z } = { (a,b) l a ≤ b }

对称闭包： 包含给定关系R的最小对称关系，称为R的对称闭包。记作s( R )

(1) R ⊆ s( R ) (2) s( R )是对称的 (3) ∀S( (R⊆S ∧ S对称) → s( R )⊆S )

！ 每条边有回路

传递闭包： 包含给定关系R的最小传递关系，称为R的传递闭包。记作t( R )

(1) R ⊆ t( R ) (2) t ( R )是传递的 (3) ∀S( (R⊆S ∧ S传递) → t( R )⊆S )

设 R ⊆ A × A 且 A ≠ ∅，则

(1) R自反 ⇔ r( R ) = R (2) R对称 ⇔ s( R ) = R (3) R传递 ⇔ t( R ) = R

证明： (1) R ⊆ R ∧ R自反 ⇒ r( R ) ⊆ R 又 R ⊆ r( R ) ∴ r( R ) = R

(2)(3) 完全类似

设 R1⊆R2⊆A×A 且 A≠∅, 则

(1) r( R1 ) ⊆ r( R2 ) (2) s( R1 ) ⊆ s( R2 ) (3) t( R1 ) ⊆ t( R2 )

证明： (1) R1⊆R2 ⊆ r( R2 )自反， ∴ r( R1 ) ⊆ r( R2 )

(2)(3) 类似

设 R1，R2⊆A×A 且 A≠∅, 则

(1) r( R1∪R2) = r( R1 )∪r( R2 ) (2) s( R1∪R2 ) = s( R1 )∪s( R2) (3) t( R1∪R2) ⊇ t( R1 )∪t( R2 )

证明(1)： (1) r( R1∪R2) = r( R1 )∪r( R2 )

利用定理2， r( R1∪R2) ⊇ r( R1)∪r(R2) r( R1)∪r(R2)自反且包含 R1∪R2 ∴ r( R1∪R2) ⊆ r( R1)∪r(R2) ∴ r( R1∪R2) = r( R1 )∪r( R2 )

证明(2)： (2) s( R1∪R2 ) = s( R1 )∪s( R2)

利用定理2, s(R1∪R2 ) ⊇ s(R1 )∪s(R2 ) s(R1)∪s(R2 )对称且包含R1∪R2 ∴ s(R1∪R2 ) ⊆ s(R1)∪s(R2) ∴ s( R1∪R2 ) = s(R1 )∪s( R2 )

证明(3)： (3) t( R1∪R2) ⊇ t( R1 )∪t( R2 ) 利用定理2 t(R1∪R2 )⊇t(R1 )∪t(R2 ). 反例: t(R1∪R2 )⊃t(R1 )∪t(R2 ) 简单来说，R1并R2后，有可能边增加了，自然传递关系会增加

设 R ⊆ A×A 且 A≠∅, 则

(1) r( R ) = R∪IA （IA是A的自反关系） (2) s( R ) = R∪R-1 (3) t( R ) = R∪R2∪R3∪…

(3)的推论：设 R⊆A×A 且 0