逻辑规则给出数学语句的准确含义。

命题是一个非真即假的陈述句。命题的判断结果称作命题的真值，真值只有两种值：真、假。任何命题的真值都是唯一的。（真值不唯一的命题变元不是命题。）

注意：简单命题一定是肯定语气。

简单命题又称为命题常元。而命题变元不能确定真值，不属于命题。

判断是否是命题的方法：先判断是否为陈述句，再判断是否有唯一的真值。 注意：只需判断是否有唯一解即可，具体是真还是假并不重要。

像这样由真能推出假、又由假能推出真，从而既不能为真，也不能为假的陈述句称作悖论。

符号化时，p、q应设为简单命题（肯定句）。

注意：逻辑联结词表示的是命题与命题之间的关系。 整体上形成的是一个新的复合命题，给定每个原子命题的真值，那么该复合命题的真值随之确定。

使用联结词 ∧ \land ∧需要注意两点： 其一是 ∧ \land ∧的灵活性。自然语言中的“既…又…”、“不但…而且…”、“虽然…但是…”等表示的都是两件事同时成立。因此都应该符号化为 ∧ \land ∧ 其二，不要见到“与”、“和”就使用 ∧ \land ∧

即：注意分清联结词“并且、和、与”联结的是句子成分，还是两个独立的句子，从而分清简单命题与复合命题。

析取联结词 ∨ \vee ∨与自然语言中的“或”不完全一样。自然语言中的“或”具有二义性，它有时具有相容性（即它联结的两个命题可以同时为真），有时又具有排斥性（只有当一个为真、一个为假时才为真），分别称之为“相容或”、“排斥或”。 “相容或”应符号化为 p ∨ q p\vee q p∨q，“排斥或”应符号化为 ( p ∧ ¬ q ) ∨ ( ¬ p ∧ q ) (p\land \neg q)\vee(\neg p \land q) (p∧¬q)∨(¬p∧q)，也可符号化为 ( p ∨ q ) ∧ ¬ ( p ∧ q ) (p\vee q)\land \neg( p \land q) (p∨q)∧¬(p∧q)（“排斥或”即“异或 ⨁ \bigoplus ⨁”）

“相容或” p ∨ q p\vee q p∨q与“排斥或” ( p ∧ ¬ q ) ∨ ( ¬ p ∧ q ) (p\land \neg q)\vee(\neg p \land q) (p∧¬q)∨(¬p∧q)的区别在于：当p与q同时为真时，相容或为真，排斥或为假。因此当p、q不能同时为真时，“相容或”与“排斥或”相同。

即：当客观事实上p、q不可能同时发生时，“排斥或”也可以符号化为 p ∨ q p \vee q p∨q

例如： p p p：王冬生于1971年 ， q ： ，q： ，q：王冬生于1972年

自然语言中，q是p的必要条件有许多不同的叙述方式。例如：“只要p，就q”、“因为p、所以q”、“只有（除非）q，才p”、“p仅当q”、“q当p”…等，这些语句都应符号化为 p → q p\rightarrow q p→q

例题：

当A为矛盾式时， A ∨ C ⇔ A ∨ B A\vee C\Leftrightarrow A\vee B A∨C⇔A∨B可以推出 B ⇔ C B\Leftrightarrow C B⇔C; 当A为重言式时， A ∧ C ⇔ A ∧ B A\land C\Leftrightarrow A\land B A∧C⇔A∧B可以推出 B ⇔ C B\Leftrightarrow C B⇔C.

注意：命题公式不是命题，其真值是不确定的。只有将公式中的所有命题变元用确定的命题带入时（称之为“赋值”、“解释”），才成为一个命题（真值确定）。这个命题的真值取决于所带入的这组命题的真值。

用真值表求成真赋值、成假赋值。 若一个公式含有 n n n个命题变元和 k k k个逻辑联结词，则真值表的规模为 2 n × ( k + n ) 2^n\times (k + n) 2n×(k+n)。 在列这 2 n 2^n 2n种赋值时，应从00…0开始，以二进制加法的顺序，依次写出每个赋值，直到11…1为止。 A为可满足式，即A至少存在一组成真赋值。

若公式A和公式B的真值表的最后一列相同，说明这两个真值表相同，即A与B是等值的。

给定n个命题变元，由递归形成的命题公式是无穷多的，但在这些公式中，逻辑不同的的命题公式却是有限的，也即真值表的种数是有限的。 对于公式A，B，若等价式 A ↔ B A \leftrightarrow B A↔B为重言式，则称A，B是等值的，记为 A ⇔ B A\Leftrightarrow B A⇔B。即对于任意一组命题变元的取值，A、B的真值均相同。

可以通过比较真值表的最后一列来判断两个公式是否等值。 证明公式等值的另一个方法是：利用已知的等值式通过代换得到新的等值式。

注意：用等值演算法可以验证两个公式等值，但不能直接用等值演算法验证两个公式不等值，不过可以先分别用等值演算法将两个公式化为容易观察真值的形式，再比较真值，只需找到一组成真赋值是另一个公式的成假赋值即可。

证明一个公式为重言式时，若该公式为非等价形式，则最终证明其等值于1。 p ⇔ . . . ⇔ 1 p\Leftrightarrow ... \Leftrightarrow1 p⇔...⇔1； 若该公式为等价形式 p ↔ q p \leftrightarrow q p↔q，则证明方式为: p ⇔ . . . ⇔ q p\Leftrightarrow...\Leftrightarrow q p⇔...⇔q 证明一个公式为矛盾式，即证明该公式等值于0.

应用： 1，联结词完备集 同一个命题公式可用各种联结词构成无数种不同形式的等值公式，我们所使用的联结词有5个： { ¬ , ∧ , ∨ , → , ↔ } \{\neg,\land,\vee,\rightarrow,\leftrightarrow\} {¬,∧,∨,→,↔}，我们也可以将现有的联结词扩充得更多, 但在不增加变元个数的前提下, 那些扩充实际上都没有意义, 因为它们都可以用现有的五个联结词来表示。那么这5个联结词就都是必要的吗？该联结词完备集中是否含冗余的联结词？ 结论： { ¬ , ∧ } \{\neg,\land \} {¬,∧}， { ¬ , ∨ } \{\neg,\vee\} {¬,∨}是极小的联结词完备集。即仅使用两个联结词就可以表示所有的公式。

将已知的命题公式等值地化成给定的联结词完备集中的公式，所得的答案不唯一。

使用德摩根律实现合取和析取之间的转化。

题型：在某个联结词完备集中的形式——即将公式化为只含这些联结词的形式。

2， 主要思想为：将条件与结果符号化，形成一个命题公式： 条 件 ∧ 结 果 条件\land 结果 条件∧结果，对该命题公式进行等值演算。

把所有命题公式都规范化为一种统一的格式，这种规范的表达式能表达真值表所能提供的一切信息，以便于命题公式之间的比较。

将 p p p和 ¬ p \neg p ¬p（p为命题变元）统称为文字. 仅由有限个文字构成的析取式称作简单析取式. 仅由有限个文字构成的合取式称作简单合取式.

注意：

范式存在定理：任一命题公式都存在与之等值的析取范式和合取范式。 即任意公式都可以化为析取范式或合取范式的形式。

将命题公式化为析取范式或合取范式，可以分为3步：

利用以上3个步骤, 一定能求出公式的析取范式或合取范式, 但形式可能是多样的, 即公式的析取范式或合取范式是不惟一的。

首先将简单合取式标准化为极小项，再求公式的以极小项为简单合取式的析取范式, 即为主析取范式。

主析取范式存在惟一定理：任何命题公式的主析取范式都是存在的, 并且是惟一的。 由此， A ⇔ B A\Leftrightarrow B A⇔B当且仅当 A A A与 B B B有相同的主析取范式。

求主析取范式的一般方法：

将简单合取式转化为极小项的方法： 若简单合取式A中不含命题变元r，则利用 A ⇔ A ∧ 1 ⇔ A ∧ ( r ∨ ¬ r ) ⇔ ( A ∧ r ) ∨ ( A ∧ ¬ r ) ⇔ ( A ∧ r 1 ∧ r 2 ) ∨ ( A ∧ r 1 ∧ ¬ r 2 ) ∨ ( A ∧ ¬ r 1 ∧ r 2 ) ∨ ( A ∧ ¬ r 1 ∧ ¬ r 2 ) A\Leftrightarrow A\land 1\Leftrightarrow A \land(r\vee\neg r)\Leftrightarrow (A\land r)\vee (A\land\neg r)\\\Leftrightarrow (A\land r_1\land r_2)\vee (A\land r_1\land \neg r_2)\vee(A\land\neg r_1\land r_2)\vee(A\land\neg r_1\land\neg r_2) A⇔A∧1⇔A∧(r∨¬r)⇔(A∧r)∨(A∧¬r)⇔(A∧r1​∧r2​)∨(A∧r1​∧¬r2​)∨(A∧¬r1​∧r2​)∨(A∧¬r1​∧¬r2​)转化为了只含极小项的析取式。

若公式A中含有n个命题变元，A的主析取范式含s（0 ≤ s ≤ 2 n 2^n 2n）个极小项，则A有s个成真赋值，它们是所含极小项下标的二进制表示，其余 2 n − s 2^n-s 2n−s个赋值都是成假赋值。

注意：

极小项的否定即极大项： ¬ m i = M i \neg m_i = M_i ¬mi​=Mi​ 极大项的否定即极小项： ¬ M i = m i \neg M_i = m_i ¬Mi​=mi​

求主合取范式的一般方法：

将简单析取式转化为极大项的方法： 若简单析取式A中不含命题变元r，则利用 A ⇔ A ∨ 0 ⇔ A ∨ ( r ∧ ¬ r ) ⇔ ( A ∨ r ) ∧ ( A ∨ ¬ r ) ⇔ ( A ∨ r 1 ∨ r 2 ) ∧ ( A ∨ r 1 ∨ ¬ r 2 ) ∧ ( A ∨ ¬ r 1 ∨ r 2 ) ∧ ( A ∨ ¬ r 1 ∨ ¬ r 2 ) A\Leftrightarrow A\vee 0\Leftrightarrow A \vee(r\land\neg r)\Leftrightarrow (A\vee r)\land(A \vee\neg r)\\\Leftrightarrow (A\vee r_1\vee r_2)\land (A\vee r_1\vee \neg r_2)\land(A\vee\neg r_1\vee r_2)\land(A\vee\neg r_1\vee\neg r_2) A⇔A∨0⇔A∨(r∧¬r)⇔(A∨r)∧(A∨¬r)⇔(A∨r1​∨r2​)∧(A∨r1​∨¬r2​)∧(A∨¬r1​∨r2​)∧(A∨¬r1​∨¬r2​)转化为了只含极大项的合取式。

牢记： A ⇔ ( A ∧ r ) ∨ ( A ∧ ¬ r ) （ 主 析 取 范 式 ）     ⇔ ( A ∨ r ) ∧ ( A ∨ ¬ r ) （ 主 合 取 范 式 ） A \Leftrightarrow (A\land r)\vee(A\land\neg r)（主析取范式）\\ \ \ \ \Leftrightarrow (A\vee r)\land(A\vee\neg r)（主合取范式） A⇔(A∧r)∨(A∧¬r)（主析取范式）   ⇔(A∨r)∧(A∨¬r)（主合取范式）

在进行等值演算的过程中，若已发现该公式为重言式或矛盾式，则可直接写出该公式的主析取范式和主合取范式：

主析取范式中每个极小项都是其成真赋值；主合取范式中每个极大项都是其成假赋值。

由主析取范式求主合取范式： 例如若A中含有3个命题变元： A ⇔ m 1 ∨ m 2 ∨ m 3 （ 主 析 取 范 式 ）                          ⇔ M 0 ∧ M 4 ∧ M 5 ∧ M 6 ∧ M 7 （ 主 合 取 范 式 ） A \Leftrightarrow m_1\vee m_2\vee m_3（主析取范式）\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow M_0\land M_4\land M_5\land M_6\land M_7（主合取范式） A⇔m1​∨m2​∨m3​（主析取范式）                        ⇔M0​∧M4​∧M5​∧M6​∧M7​（主合取范式）

在演算过程中，先求本题较容易求出的主合取范式（主析取范式），再根据合取、析取之间的转化，求出主析取范式（主合取范式）。

注意：

主析取范式实质上就是列举出了该公式所有的成真赋值，除此之外的赋值自然就是成假赋值；主合取范式实质上就是列出了该公式的所有成假赋值。因此主析取范式与主合取范式之间可以很方便的互求。 若两个公式的主析取范式（或主合取范式）相同，实际上也就是真值表相同，因此说明了这两个公式等值。 真值表与主析取（合取）范式是描述命题公式的两种等价的不同形式。 因此也可以由真值表求出主析取范式和主合取范式：真值表 → \rightarrow →成真赋值/成假赋值 → \rightarrow →主析取范式/主合取范式

含n个命题变元的主析取范式共有 2 2 n 2^{2n} 22n种。