根据某项指标，总体被分为 r r r类： A 1 , ⋯   , A r A_1,\cdots,A_r A1​,⋯,Ar​。此时我们最关心的是关于各类所占的比例的假设 H 0 : 第 i 类 A i 所 占 的 比 例 为 p i , i = 1 , ⋯   , r (1) H_0:第i类A_i所占的比例为p_i,i=1,\cdots,r\tag1 H0​:第i类Ai​所占的比例为pi​,i=1,⋯,r(1) 其中， ∑ i = 1 r p i = 1 \sum\limits_{i=1}^rp_i=1 i=1∑r​pi​=1。

记 X 1 , ⋯   , X n X_1,\cdots,X_n X1​,⋯,Xn​为从此总体抽出的 n n n个 I I D IID IID总体，且以 n i n_i ni​记这 n n n个样本中属于 A i A_i Ai​的样本个数。当 H 0 H_0 H0​成立时，在 n n n个样本中属于 A i A_i Ai​类的理论个数或期望个数为 n p i np_i npi​，而我们实际观测到的值为 n i n_i ni​，故当 H 0 H_0 H0​成立时， n i n_i ni​与 n p i np_i npi​应相差不大。于是，可以用统计量 χ 2 = ∑ i = 1 r ( n i − n p i ) 2 n p i (2) \chi^2=\sum_{i=1}^r\frac{(n_i-np_i)^2}{np_i}\tag2 χ2=i=1∑r​npi​(ni​−npi​)2​(2)来衡量理论个数与实际观测值之间的差别，并且其拒绝域为 { χ 2 ≥ c } \{\chi^2\ge c\} {χ2≥c}

为了控制上述检验犯第一类错误的概率，我们必须知道此检验统计量的零分布，为此有以下定理：

在 H 0 H_0 H0​成立且 p i p_i pi​均已知时，我们有 χ 2 → χ 2 ( r − 1 ) (3) \chi^2\to\chi^2(r-1)\tag3 χ2→χ2(r−1)(3)

所以可以得到拒绝域为 W = { χ 2 ≥ χ α 2 ( r − 1 ) } (4) W=\{\chi^2\ge\chi^2_\alpha(r-1)\}\tag4 W={χ2≥χα2​(r−1)}(4)

对于一般的分布假设 H 0 : F ( x ) ≡ F 0 ( x ) (5) H_0:F(x)\equiv F_0(x)\tag5 H0​:F(x)≡F0​(x)(5) 其中， F 0 ( x ) F_0(x) F0​(x)为一个完全已知的分布函数（形式和参数均已知）

此时，可以把 ( − ∞ , ∞ ) (-\infty, \infty) (−∞,∞)（或样本空间）分成 r r r个互不相交的区间： ( − ∞ , ∞ ) = ⋃ i = 1 r I i = ( − ∞ , a 1 ) ∪ [ a 1 , a 2 ) ∪ ⋯ ∪ [ a r − 1 , ∞ ) (6) (-\infty, \infty)=\bigcup_{i=1}^rI_i=(-\infty,a_1)\cup[a_1,a_2)\cup\cdots\cup[a_{r-1},\infty)\tag6 (−∞,∞)=i=1⋃r​Ii​=(−∞,a1​)∪[a1​,a2​)∪⋯∪[ar−1​,∞)(6) 且以 n i n_i ni​记落在第 i i i个区间 I i I_i Ii​内的样本个数，再记 p 1 = F ( a 1 ) , p 2 = F ( a 2 ) − F ( a 1 ) , ⋯   , p r = 1 − F ( a r − 1 ) (7) p_1=F(a_1), p_2=F(a_2)-F(a_1),\cdots,p_r=1-F(a_{r-1})\tag7 p1​=F(a1​),p2​=F(a2​)−F(a1​),⋯,pr​=1−F(ar−1​)(7) p 10 = F 0 ( a 1 ) , p 20 = F 0 ( a 2 ) − F 0 ( a 1 ) , ⋯   , p r 0 = 1 − F 0 ( a r − 1 ) (8) p_{10}=F_0(a_1), p_{20}=F_0(a_2)-F_0(a_1),\cdots,p_{r0}=1-F_0(a_{r-1})\tag8 p10​=F0​(a1​),p20​=F0​(a2​)−F0​(a1​),⋯,pr0​=1−F0​(ar−1​)(8) 则我们可以用统计量 χ 2 = ∑ i = 1 r ( n i − n p i 0 ) 2 n p i 0 (9) \chi^2=\sum_{i=1}^r\frac{(n_i-np_{i0})^2}{np_{i0}}\tag9 χ2=i=1∑r​npi0​(ni​−npi0​)2​(9) 来检验。

在许多实际问题中，我们感兴趣的假设可能为 H 0 : F ( x ) ≡ F 0 ( x ; θ 1 , ⋯   , θ k ) (10) H_0:F(x)\equiv F_0(x;\theta_1,\cdots,\theta_k)\tag{10} H0​:F(x)≡F0​(x;θ1​,⋯,θk​)(10) 其中， F 0 ( x ; θ 1 , ⋯   , θ k ) F_0(x;\theta_1,\cdots,\theta_k) F0​(x;θ1​,⋯,θk​)是依赖于 k k k个未知参数的形式已知的分布，如一般的正态分布，二项分布等。

Fisher指出，当 H 0 H_0 H0​成立时，可先用MLE估计未知参数，可以得到 p ^ i 0 \hat p_{i0} p^​i0​的值，之后可以利用统计量 χ 2 = ∑ i = 1 r ( n i − n p ^ i 0 ) 2 n p ^ i 0 (11) \chi^2=\sum_{i=1}^r\frac{(n_i-n\hat p_{i0})^2}{n\hat p_{i0}}\tag{11} χ2=i=1∑r​np^​i0​(ni​−np^​i0​)2​(11) 作为检验统计量，且当 H 0 H_0 H0​成立时及 n → ∞ n\to\infty n→∞时，仍有 χ 2 → χ 2 ( r − 1 − k ) \chi^2\to\chi^2(r-1-k) χ2→χ2(r−1−k)