定义： 设 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 是二元随机变量，对于任意实数 x , y x, y x,y，二元函数

F ( x , y ) = P { ( X ≤ x ) ⋂ ( Y ≤ y ) } = 记成 P ( X ≤ x , Y ≤ y ) F(x,y)=P\{(X\leq x) \bigcap (Y\leq y)\} \overset{\text{记成}}{=}P(X\leq x,Y\leq y) F(x,y)=P{(X≤x)⋂(Y≤y)}=记成P(X≤x,Y≤y)

称为二元随机变量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y) 的联合分布函数。

例 1： 设随机变量 X X X 在 1、2、3、4 四个整数中等可能地取一个值，随机变量 Y Y Y 在 1 ∼ X 1\sim X 1∼X 中等可能地取一个整数值，求 F ( 3.5 , 2 ) F(3.5, 2) F(3.5,2).

解： X 、 Y X、Y X、Y 的取值情况均为 1,2,3,4；当 i , j = 1 , ⋯   , 4 i,j=1,\cdots,4 i,j=1,⋯,4 时

P ( X = i , Y = j ) = P ( X = i ) P ( Y = j ∣ X = i ) = { 1 4 × 1 i , i ≥ j 1 4 × 0 , i < j P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j|X=i)=\begin{cases} \cfrac{1}{4}\times\cfrac{1}{i}, &i\geq j \\ \\ \cfrac{1}{4} \times 0, &i