科里奥利力

2024-07-16 20:52| 来源: 网络整理| 查看: 265

科里奥利力

贡献者： addis; junyi

预备知识 1　离心力

　　 科里奥利力（Coriolis Force）是匀速旋转的参考系中由质点运动产生的惯性力。

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} _c = 2m \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ~. \end{equation} 其中 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'}$ 是质点相对于旋转参考系 $S'$ 的瞬时速度，$ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 是旋转系相对于某惯性系 $S$ 转动的角速度矢量。式中的乘法是叉乘。在匀速转动参考系（属于非惯性系）中，若质点保持相对静止，则惯性力只有离心力。然而当质点与转动参考系有相对速度时，惯性力中还会增加一个与速度垂直的力，这就是科里奥利力。地理中的地转偏向力就是科里奥利力，可用上式计算（见 “地球表面的科里奥利力”）。

　　由叉乘的定义可得，科里奥利力与速度矢量始终保持垂直，所以科里奥利力不会对质点做功。

1. 推导 预备知识 2　连续叉乘的化简，圆周运动的速度，加速度的坐标变换

　　我们可以直接根据惯性力的定义（式 1 ）和加速度的坐标变换（式 9 ）得到任意非惯性系 $S'$ 中质点的总惯性力（$S$ 为任意惯性系）为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} _c = m( \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} - \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S} ) = -m \boldsymbol{\mathbf{a}} _{r} + 2 m \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ~. \end{equation} 其中第一项包含平移惯性力和转动惯性力，转动惯性力又可划分为离心力以及角加速度产生的惯性力（见式 8 ），但与质点相对 $S'$ 的速度无关，所以只将科里奥利力定义为第二项。 2. 另一种推导

未完成：移动到 “加速度的参考系变换” 中1类比式 1 ，若 $S'$ 系与 $S$ 系原点始终重合，且相对 $S'$ 相对 $S$ 系以角速度 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 旋转，对任意一个随时间变化的矢量（假设一阶导数存在），我们把它在 $S$ 和 $S'$ 系中的时间导数分别记为 $(\dot{ \boldsymbol{\mathbf{A}} })_{S}$ 和 $(\dot{ \boldsymbol{\mathbf{A}} })_{S'}$，则有 \begin{equation} (\dot{ \boldsymbol{\mathbf{A}} })_{S} = (\dot{ \boldsymbol{\mathbf{A}} })_{S'} + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} ~. \end{equation} 最后一项参考式 5 。注意该式中的矢量为几何矢量而不是坐标列矢量，若要将该式记为坐标形式，应该使用同一坐标系。

　　我们先将 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 替换为质点的位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $，得参考系中质点的速度关系为（即式 1 ）

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'} + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} ~. \end{equation} 两边在 $S$ 系中对时间求导得 \begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S} = (\dot{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }_{S'})_{S} + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S} + \dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} ~. \end{equation} 注意 $S'$ 系中的加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'}$ 并不是 $(\dot{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }_{S'})_{S}$，而是 $(\dot{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }_{S'})_{S'}$。令式 3 中的 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'}$，得 \begin{equation} (\dot{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }_{S'})_{S} = \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'}~. \end{equation} 将式 4 和式 6 代入式 5 ，得（参考 “连续叉乘的化简”） \begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S} = \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} + 2 \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'} + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} ) + \dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} ~. \end{equation} 所以旋转参考系中的总惯性力（式 1 ）为 \begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{f}} = m( \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} - \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S}) = 2m \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{\omega}} -m \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} ) - m \dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} ~. \end{equation} 其中第一项被称为科里奥利力（唯一一项与 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'}$ 有关的），第二项为离心力（式 5 ），第三项为角加速度产生的惯性力。

1. ^ 参考 [1] 相关章节。

[1] ^ Herbert Goldstein. Classical Mechanics 3ed

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