首先，在概率论里我们经常能遇到一个神秘的不可积的积分：

I=∫0+∞e−t2dtI = \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \text dtI=∫0+∞​e−t2dt

这个积分既不能直接凑出来，也不能使用分部积分法消掉什么；一般，我们会使用升维的方法转化到极坐标来解决这个积分，就大概是下面这样：

I2=∫0+∞e−x2dx⋅∫0+∞e−y2dy=∬De−(x2+y2)dxdyI^2 = \int_0^{+\infty} e^{-x^2} \text dx \cdot \int_0^{+\infty} e^{-y^2} \text dy = \iint_D e^{-(x^2+y^2)}\text dx\text dyI2=∫0+∞​e−x2dx⋅∫0+∞​e−y2dy=∬D​e−(x2+y2)dxdy

这样，使用极坐标变换可以得到：

I2=∫0π2dθ∫0+∞re−r2dr=π2(−12e−r2∣0+∞)=π4I^2 = \int_0^\frac\pi2\text d\theta\int_0^{+\infty}re^{-r^2}\text dr = \frac\pi2\left(-\frac12e^{-r^2}\Bigg|_0^{+\infty}\right) = \frac\pi4I2=∫02π​​dθ∫0+∞​re−r2dr=2π​(−21​e−r2​0+∞​)=4π​

显然被积函数恒大于 0，故I>0I > 0I>0，综上所述可得：I=∫0+∞e−t2dt=π2I = \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \text dt = \frac{\sqrt{\pi}}2I=∫0+∞​e−t2dt=2π​​。

每次遇到这种积分都要这样搞一遍实在是有些麻烦，有没有更系统化的方法呢？经过查阅 Wolfram Alpha，得知这种形式的积分可以使用 Gamma 函数表示。

伽马函数也叫欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数，是阶乘函数在复数域上的延拓。怎么理解这句话呢？首先我们知道阶乘函数定义在正整数离散点上，若对于任何一个非整数，无法使用其定义式求出它的值，因此我们需要对其进行延拓—— 最后得到了如下的定义式：

Γ(x)=∫0+∞tx−1e−tdt\Gamma(x) = \int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\text dtΓ(x)=∫0+∞​tx−1e−tdt

现在我们只考虑其在实数域且x>0x > 0x>0 上的情况，毕竟考研只需要这个。

Gamma 函数作为阶乘函数在更广的数域上的延拓，首先它当然满足阶乘函数本来的定义；它具有如下的性质：

那么如何证明这两个性质呢？一般有两种常见的做法：

对于Γ(k)\Gamma(k)Γ(k) 的定义式使用分部积分法：

∫0+∞tk−1e−tdt=1k∫0+∞e−tdtk=1k(e−ttk∣0+∞+∫0+∞e−ttkdt)\int_0^{+\infty}t^{k-1}e^{-t}\text dt = \frac1{k}\int_0^{+\infty}e^{-t}\text dt^{k} = \frac1{k}\left(e^{-t}t^{k}\Bigg|_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty}e^{-t}t^{k}\text dt\right)∫0+∞​tk−1e−tdt=k1​∫0+∞​e−tdtk=k1​(e−ttk​0+∞​+∫0+∞​e−ttkdt)

显然，第一项为 0，第二项又是Γ(k+1)\Gamma(k+1)Γ(k+1) 的定义式，故：

Γ(k)=1k∫0+∞e−ttk=Γ(k+1)k\Gamma(k) = \frac1{k}\int_0^{+\infty}e^{-t}t^{k} = \frac{\Gamma(k + 1)}{k}Γ(k)=k1​∫0+∞​e−ttk=kΓ(k+1)​

就得到了上面性质中说到的递推关系；但是我们现在还缺乏一个初值；对于Γ(1)\Gamma(1)Γ(1)：

Γ(1)=∫0+∞e−tdt=−e−t∣0+∞=1\Gamma(1) = \int_0^{+\infty}e^{-t}\text dt = -e^{-t}\Bigg|_0^{+\infty} = 1Γ(1)=∫0+∞​e−tdt=−e−t​0+∞​=1

结合上面的到的递推公式，就可以得到它和阶乘函数的对应关系。

这种做法需要一定的技巧性；首先我们可以进行如下的展开：

11−x=∑k=0∞xk, ∣x∣