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在爬虫处理验证码的过程中接触到矩阵卷积运算，关于该类运算，记录一下自己的心得。

理论知识

在讲述卷积过程前，我们来了解一下卷积公式。根据离散二维卷积公式： 其中A为被卷积矩阵，K为卷积核，B为卷积结果，该公式中，三个矩阵的排序均从0开始。

现在对于上面卷积过程进行分析：我们用来做例子的 A 矩阵为 m×m(3×3)二维矩阵（被卷积矩阵），K 为 n×n(2×2)的二维矩阵（卷积核）。

卷积核 K 矩阵翻转 180°，得到：

被卷积矩阵扩展到(m+n)×(m+n)大小，将扩展部分用 0 代替，将卷积核 K 从左上角顺序地行移动，再换行，继续，直到抵达右下角。将对应元素相乘后相加。

实际应用

关于卷积计算，在 Python 中存在于 scipy 的 signal 模块，这里需要介绍一下 scipy.signal.convolve2d 函数。

输出结果为：

结合程序与图片分析，被卷积矩阵（m×m）和卷积核（n×n）做卷积运算时，当 scipy.signal.convolve2d 函数中 mode 参数值为 full（默认值）时，得到是完全卷积结果；当 mode 参数值为 valid 时，输出计算过程中没有扩充的 0 参与计算的值；当 mode 参数值为 same 时，输出与被卷积矩阵大小相同的矩阵，按照我的理解是，当卷积结果矩阵的大小（m+n -1）为偶数时，same 输出的矩阵从左上角按照 m 大小截取。当卷积结果矩阵的大小（m+n -1）为奇数时，same 输出的矩阵从正中间截取大小为 m d的矩阵。