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目录

行列式运算法则

矩阵的运算及其运算规则:

一、矩阵的加法与减法

二、矩阵与数的乘法

三、矩阵与矩阵的乘法

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1、三角形（上三角，下三角）行列式的值，等于对角线元素的乘积。计算时，一般需要多次运算来把行列式转换为上三角型或下三角型

2、交换行列式中的两行（列），行列式变号（交换）

3、行列式中某行（列）的公因子，可以提出放到行列式之外。（倍乘）（注：矩阵是全部元素都乘，都提取）

4、行列式的某行乘以a，加到另外一行，行列式不变，常用于消去某些元素。（倍加）

5、若行列式中，两行（列）完全一样，则行列式为0；可以推论，如果两行（列）成比例，行列式为0。

6、行列式展开：行列式的值，等于其中某一行（列）的每个元素与其代数余子式乘积的和；但若是另一行（列）的元素与本行（列）的代数余子式乘积求和，则其和为0

7、克拉默法则：利用线性方程组的系数行列式求解方程，令系数行列式为D，Di为将等式右侧的值替换到行列式的第i列，则行列式的i个解为：

​编辑8、齐次线性方程组：在线性方程组等式右侧的常数项全部为0时，该方程组称为齐次线性方程组，否则为非齐次线性方程组。齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解。当D=0时，有非零解；当D!=0时，方程组无非零解。

1、运算规则　　设矩阵

​编辑   则  ​编辑

两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．　　

2、运算性质（假设运算都是可行的）　　满足交换律和结合律

交换律　​编辑

结合律　​编辑

1、运算规则数​编辑乘矩阵A，就是将数​编辑乘矩阵A中的每一个元素，记为​编辑或​编辑特别地，称​编辑称为​编辑的负矩阵.　　

2、运算性质　　满足结合律和分配律　　结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA．　　分配律：λ(A+B)=λA+λB．

已知两个矩阵

​编辑

满足矩阵方程

​编辑，求未知矩阵​编辑

解　由已知条件知

​编辑

​编辑

1、运算规则　　设​编辑，​编辑，则A与B的乘积​编辑是这样一个矩阵：　

　(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即​编辑

    (2) C的第​编辑行第​编辑列的元素​编辑由A的第​编辑行元素与B的第​编辑列元素对应相乘，再取乘积之和．

　设矩阵

​编辑

计算

​编辑

解

​编辑是​编辑的矩阵．设它为​编辑​编辑​编辑​编辑

​编辑​编辑​编辑​编辑

想一想：设列矩阵

​编辑

，行矩阵

​编辑，​编辑和​编辑的行数和列数分别是多少呢

​编辑是3×3的矩阵，​编辑是1×1的矩阵，即​编辑

只有一个元素．课堂练习　　1、设

​编辑

，

​编辑

，求

​编辑

．　　

2、在第1道练习题中，两个矩阵相乘的顺序是A在左边，B在右边，称为A左乘B或B右乘A．如果交换顺序，让B在左边，A在右边，即A右乘B，运算还能进行吗？请算算试试看．并由此思考：两个矩阵应当满足什么条件，才能够做乘法运算．　　

3、设列矩阵

​编辑

，行矩阵

​编辑

，求​编辑和​编辑

，比较两个计算结果，能得出什么结论吗？　　

4、设三阶方阵

​编辑

，三阶单位阵为

​编辑

，试求​编辑和​编辑，并将计算结果与A比较，看有什么样的结论．

解：　　第1题

​编辑

．　　第2题　　对于

​编辑

，

​编辑

．　　求​编辑是有意义的，而​编辑是无意义的．

结论1　只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数．　　

第3题

​编辑是​编辑矩阵，​编辑是​编辑的矩阵．

​编辑

​编辑

．

​编辑

​编辑

结论2　在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在​编辑与​编辑均有意义时，也未必有​编辑=​编辑成立．可见矩阵乘法不满足交换律．　　

第4题　　计算得：​编辑

．　　

结论3　方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即

​编辑

．　　单位阵在矩阵乘法中的作用相当于数1在我们普通乘法中的作用．典型例题例6.5.3　设

​编辑，试计算​编辑和​编辑

．解

​编辑

​编辑

​编辑

．

​编辑

​编辑

​编辑

结论4　两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵．由此若​编辑，不能得出​编辑或​编辑的结论．

例6.5.4　利用矩阵的乘法，三元线性方程组

​编辑

可以写成矩阵的形式

​编辑

​编辑

＝

​编辑

若记系数、未知量和常数项构成的三个矩阵分别为

​编辑

​编辑

，

​编辑

，

​编辑

，　　则线性方程组又可以简写为矩阵方程的形式：​编辑

2、运算性质（假设运算都是可行的）　　

(1)　结合律　

​编辑

(2)　分配律　

​编辑

（左分配律）；

​编辑

（右分配律）．　

(3)　

​编辑

3、方阵的幂定义：设A是方阵，​编辑是一个正整数，规定​编辑，

​编辑

显然，记号​编辑表示​编辑个A的连乘积．

四、矩阵的转置

1、定义

定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作

​编辑或​编辑

例如，矩阵

​编辑

的转置矩阵为

​编辑

．

　　2、运算性质（假设运算都是可行的）　

　    (1)　​编辑

　　(2)　​编辑

　　(3)　 ​编辑

　　(4)　 ​编辑  ​编辑是常数．

　　2、运算性质（假设运算都是可行的）　

       (1)　​编辑

　　(2)　 ​编辑

　　(3)　 ​编辑

　　(4)　 ​编辑  ， ​编辑是常数．

典型例题 例6.5.5 利用矩阵

​编辑

验证运算性质：

​编辑

解

​编辑​编辑

​编辑

​编辑

而

​编辑

所以

​编辑

．

定义：如果方阵满足​编辑，即​编辑，则称A为对称矩阵．

对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．

五、方阵的行列式

1、定义

定义：由方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作

​编辑

或

​编辑

2、运算性质　

　(1)​编辑

（行列式的性质）　

　(2)

​编辑

，特别地：​编辑

(3)

​编辑

（​编辑

是常数，A的阶数为n）思考：设A为​编辑

阶方阵，那么

​编辑

的行列式

​编辑

与A的行列式

​编辑

之间的关系为什么不是

​编辑

，而是

？　　不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下

​编辑

和

​编辑

．　　例如

​编辑

，则

​编辑

．　　于是

​编辑

，而

​编辑

​编辑

．思考：设

​编辑

，有几种方法可以求

​编辑

？解 方法一：先求矩阵乘法

​编辑

，得到一个二阶方阵，再求其行列式．　　　　方法二：先分别求行列式

​编辑，再取它们的乘积．

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