在线性代数当中，初等变换可谓算得上最重要的一种运算了，然而矩阵的初等变换和行列式的初等变换却常常容易混淆，本文的目的是把这几个概念厘清：矩阵、行列式、初等变换、初等矩阵、矩阵的初等变换、行列式的初等变换。

A 3 × 4 = [ 1 0 0 1 0 2 0 2 0 0 3 3 ] \mathbf A_{3\times4}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \end{bmatrix} A3×4​=⎣ ⎡​100​020​003​123​⎦ ⎤​

上面是一个3行4列的矩阵。

d e t A = ∣ 1 0 0 0 1 0 0 0 2 ∣ = 2 det \mathbf A=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 detA=∣ ∣​100​010​002​∣ ∣​=2

矩阵的行数和列数可以不相等，而行列式的行数和列数必须相等。

所谓初等变换就是矩阵最基本的三种变换，初等矩阵是这三种变换对应的矩阵表示。

初等变换分为行初等变换和列初等变换。二者的区别在于放在被运算的矩阵 A \mathbf A A的左边还是右边。

三种初等变换，以及对应的初等矩阵：

交换：将i行和j行交换，对应的初等矩阵就是将单位矩阵的i行和j行交换 E i j = [ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ] \mathbf E_{ij} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} Eij​=⎣ ⎡​100​001​010​⎦ ⎤​

倍乘：将i行的每个数乘以c， E i ( c ) = [ 1 0 0 0 c 0 0 0 1 ] \mathbf E_{i}(c) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Ei​(c)=⎣ ⎡​100​0c0​001​⎦ ⎤​

乘加：将i行的每个数乘以c再加到j行， E i j ( c ) = [ 1 0 0 0 1 0 0 c 1 ] \mathbf E_{ij}(c)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & c & 1 \end{bmatrix} Eij​(c)=⎣ ⎡​100​01c​001​⎦ ⎤​

现在来演示一下： E i j A = [ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ] × [ 1 0 0 1 0 2 0 2 0 0 3 3 ] = [ 1 0 0 1 0 0 3 3 0 2 0 2 ] \mathbf E_{ij} \mathbf A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \end{bmatrix} Eij​A=⎣ ⎡​100​001​010​⎦ ⎤​×⎣ ⎡​100​020​003​123​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​100​002​030​132​⎦ ⎤​ 如果初等矩阵放在A的右边就是列变换。

1. 矩阵的初等变换是保持等价关系

2. 行列式的初等变换是保持等值关系

矩阵的初等变换方法在上文已经说清楚了。

行列式的初等变换规则：

数乘： k A k \mathbf A kA ，即将 A \mathbf A A中的每一个元素都乘以k

倍乘： E i ( c ) A \mathbf E_{i}(c) \mathbf A Ei​(c)A，即将 A \mathbf A A的第i行的每一个元素乘以c

数乘： d e t ( k A n × n ) = k n   d e t ( A ) det (kA_{n\times n}) = k^n\ det(A) det(kAn×n​)=kn det(A)

倍乘： d e t ( E i ( c ) A n × n ) = k   d e t ( A ) det (\mathbf E_{i}(c) A_{n\times n}) = k\ det(A) det(Ei​(c)An×n​)=k det(A)