本文是关于线性代数的相关知识点总结，主要功能是有条理、有层次地总结出矩阵及其相关知识的知识脉络。

如果你是已经对矩阵有所了解的读者，那么本文就是供你查漏补缺，整理知识的好帮手。

如果你是零基础，想要了解矩阵的读者，那么本文中对各个概念的解释就会给你非常有益的参考，帮助你对该领域的知识有一个清晰的认识。

如果你是准备线性代数考试的学生，那恭喜你，本文就是你的“笔记替身”，省去了你亲自记录并整理线代笔记的困难与繁琐！

这正是我发出这篇文章的朴素目的——帮助大家系统化的理解知识，搭好知识的框架。毕竟线代本身并不难，难的其实是繁琐的计算，然而，计算绝不是线代的精髓，概念的定义及性质所连结出的框架才是线代的精髓，我做的，正是去粗存精的重要工作。

虽然本文有对这些知识、概念大多有相应的解释说明，但是总体上是从一个“自上而下”的角度介绍知识的——毕竟这是总结，不是教学嘛。

另外，一些公式会被我特意加上颜色，这是在起强调作用（绝对不是我乱涂乱画哦~），是为了帮助读者注意公式中应当注意的部分，避免找不到解释的思路造成难以理解的尴尬（这种尴尬常常出现在线代以及其它数学教材中，我也深受其害QAQ）。

总而言之，作为读者，建议先粗看，快速往下翻，发现自己想了解的知识点再细看。对于我这种总结类的文章，这是十分推荐的阅读方式——就像查字典一样。

“字典”的目录如下：

矩阵

定义

常见分类

性质

初等变换

定义

矩阵与矩阵等价

性质

秩

矩阵子式

定义

性质

本文其实还有一篇总结了逆矩阵相关知识点的文章，作为本文的补充。（插入公式太多了阿B不给过QAQ）需要了解的可以前往传送门：

那么，废话不多说，继续往下看吧~

矩阵

定义

其中：

：矩阵的最简单记法。（A的字体是粗体）

右边的数表：矩阵的数表形式，直观清晰。

：矩阵的简记。

：表示矩阵有m行n列。

对于A右边的数表：

有如下解释：

：矩阵的元素（元）。又被称为元。如：

：矩阵的行标。如：中的 2

：矩阵的列标。如：中的 n

常见分类

1. 行矩阵（行向量）

2. 列矩阵（列向量）

3. 零矩阵

零矩阵 O 有 m 行 n 列，并且每一个元的值都是 0 。

4. 对角矩阵

5. 单位矩阵

6. 负矩阵

7. 伴随矩阵

 矩阵 A 的行列式 |A| 的各个元素的代数余子式所构成的矩阵就是伴随矩阵。记作

 8. 奇异矩阵

当时，矩阵 A 称为奇异矩阵。否则称作非奇异矩阵。

性质

性质1    如果两个矩阵是同型矩阵，那么这两个矩阵可以相加。

解释：若

A，B这两个矩阵的行数均为 m ，列数均为 n ，它们的行数与列数均相等，所以是同型矩阵。

那么就有

衍生性质1    同型矩阵的加法满足加法交换律

解释：即

衍生性质2    同型矩阵的加法满足加法结合律

解释：即

衍生性质3（矩阵的减法）    一个矩阵减去另一个矩阵，等于加上这另一个矩阵的负矩阵

解释：即

性质2    数可以与矩阵相乘。

解释：记矩阵为 A ，数为 λ 。它们相乘就是这样表示：

衍生性质4    数与矩阵相乘满足乘法交换律

解释：即

衍生性质5    数与矩阵相乘满足乘法结合律

解释：即

衍生性质6    数与矩阵相乘满足数的加法乘法分配律

解释：即

衍生性质7    数与矩阵相乘满足矩阵的加法乘法分配律

解释：即

性质3    当一个矩阵的列数等于另一个矩阵的行数时，这两个矩阵可以相乘。

解释：设是一个m × s矩阵，是一个s × n矩阵，此时矩阵 A 的列数与矩阵 B 的行数均为 s 。

那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个 m × n 矩阵。记作

其中

对于上式这个求和公式，有如下解释：

如果

那么

其中

其它项以此类推。

衍生性质8    矩阵与矩阵的乘法满足乘法结合律

解释：即

衍生性质9    数与矩阵与矩阵的乘法满足乘法结合律

解释：即

衍生性质10    矩阵与矩阵的运算满足加法乘法分配律

解释：即

性质4    矩阵可以被转置，转置后的矩阵叫转置矩阵。

解释：例如这个二行三列的矩阵 A  ：

那么它的转置矩阵就是：

衍生性质11 原矩阵的转置矩阵再转置一次得到的矩阵等于原矩阵

解释：即

衍生性质12 矩阵相加再转置 等同于 转置再相加

解释：即

衍生性质13 数与矩阵相乘再转置 等同于 数乘以矩阵的转置

解释：即

衍生性质14 两个矩阵相乘后再转置 等同于 后一个矩阵的转置乘以前一个矩阵的转置

解释：即

初等变换

定义

矩阵的初等变换可以分为两类：初等行变换、初等列变换。

初等行变换有如下操作：

1. 对换 两行，记作

2. 以数 乘第 i 行中的所有元，记作 

3. 把第 j 行所有元的 k 倍加到第 i 行对应的元上，记作 

初等列变换有如下操作：

1. 对换  两列，记作 

2. 以数 乘第 i 列中的所有元，记作 

3. 把第 j 列所有元的 k 倍加到第 i 列对应的元上，记作

根据初等变换的知识，可以引出 矩阵与矩阵等价 这个知识点。

矩阵与矩阵等价

定义

矩阵与矩阵的等价关系可以分为三类：行等价、列等价、等价。

“行等价”定义如下：

如果矩阵 A 经过有限次 初等行变换 变成矩阵 B，就称矩阵 A 与 B 行等价。记作

“列等价”定义如下：

如果矩阵 A 经过有限次 初等列变换 变成矩阵 B，就称矩阵 A 与 B 列等价。记作

“等价“定义如下：

如果矩阵 A 经过有限次 初等变换 变成矩阵 B，就称矩阵 A 与 B 等价。记作

性质

性质1    矩阵与矩阵的等价关系具有下列三个性质：

（行等价和列等价同样满足这三个性质，但是未写出）

1. 反身性：

2. 对称性：

3. 传递性：

性质2    设 A 和 B 为m × n矩阵，那么

1.矩阵 A 与 B 行等价的 充分必要条件是 存在 m 阶可逆矩阵 P ，使PA=B，记作

2.矩阵 A 与 B 列等价的 充分必要条件是 存在 n 阶可逆矩阵 Q ，使AQ=B，记作

3. 矩阵 A 与 B 等价的 充分必要条件是 存在 m 阶可逆矩阵 P 及 n 阶可逆矩阵 Q ，使，记作

有了 矩阵与矩阵等价 这个知识点之后，方可继续了解 初等变换 的性质。

性质

性质1     m 行 n 列矩阵的初等行变换相当于用初等矩阵阵左乘该矩阵，而 m 行 n 列矩阵的初等列变换相当于用初等矩阵阵右乘该矩阵。

解释：以初等行变换为例，若

其中： P 是初等矩阵，是单位矩阵 E 的第1行与第2行对换的结果。

则

其中：矩阵是 A 的第1行与2行对换的结果。

性质2    一个矩阵可逆的充分必要条件是它可以经过有限次初等变换化为单位矩阵。

解释：即

推论1    矩阵 A 可逆的充分必要条件是 矩阵 A 与矩阵 E 行等价。（ E 是单位矩阵）

解释：即

秩

想了解 秩 这个知识点，必须先了解 矩阵子式 。

矩阵子式

定义

对于一个 m × n 的矩阵 A ，其 k 阶子式定义为：从矩阵 A 中任意选取 k 行和 k 列，位于这些行和列交叉位置的元素组成的一个 k × k 的子矩阵的行列式。

解释

对于一个 3 × 4 的矩阵 A 

可以给出两个 3 阶子式：

以及多个 2 阶子式，此处列举三个：

有了 矩阵子式 这个知识点，方可继续了解 秩 的定义。

定义

设矩阵中有一个 r 阶非零子式 D ，且所有 r+1 阶子式（如果存在的话）全等于 0 ，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记为

规定零矩阵的秩等于 0 。

解释

对于以下 3 × 4 矩阵 A 

先通过矩阵的初等变换得出一个行阶梯形矩阵（即非零行在零行的上面 且 非零行的首元（从左往右数第一个元）所在列在上一行的首元所在列的右面的矩阵）：

可见，可以找出一个 2 阶子式 D 

不为零，是一个非零子式，同时，所有 3 阶子式由于都存在零行（全部元都为 0 的行），因此都等于零。

于是找到了这个矩阵的秩为 2 ，即

性质

性质1    如果两个矩阵等价，那么这两个矩阵的秩相等。

解释：即

该性质（定理）是通过初等变换求出矩阵之秩的依据。

性质2    任何一个 m × n 的矩阵，其秩必定大于等于零 且 小于等于 m 与 n 中较小的那个值。

解释：即

性质3    矩阵转置的秩等于矩阵本身的秩。

解释：即

性质4    若 P ， Q 均为可逆矩阵，则 A 与 P 、Q 的乘积的秩等于 A 自身的秩。

解释：即

性质5    

性质6    

解释：其中

性质7