矩阵乘法的四种理解方式 |
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先介绍向量的两种运算,一个行向量乘以一个列向量称作向量的内积,又叫作点积,结果是一个数; 一个列向量乘以一个行向量称作向量的外积,外积是一种特殊的克罗内克积,结果是一个矩阵, 假设 注意:外积在不同的地方定义方式不太一样,这里不详细讨论 定义了内积和外积以后,我们讨论矩阵的乘法。矩阵是由向量组成的,因此对矩阵不同角度的抽象,将矩阵乘法转换为向量乘法,可以使我们从不同的角度去理解矩阵的乘法。首先我们可以对于一个矩阵A(假设行和列的大小都是2),我们可以即可以把它看作由两个行向量组成的列向量,
这样矩阵A和矩阵B的乘积按照不同的角度就可以组成四种理解方式。 一、 A是由行向量组成的列向量,B是由列向量组成的行向量 此时AB乘积变为了两个新的向量的外积形式,按照外积定义,我们有 注意到这里面每一个 二、 A是由列向量组成的行向量,B也是由列向量组成的行向量 令C = AB, 我们考虑C的每一个列向量: 同理: 因此,矩阵C的每一个列向量,是A的列向量的一个线性组合,该线性组合中的系数是 三、 A是由行向量组成的列向量,B也是由行向量组成的列向量 类似于上面的情况,不过我们现在考虑C的每一个行向量: 同理: 因此,矩阵C的每一个行向量,是B的行向量的一个线性组合,该线性组合中的系数是 四、 A是由列向量组成的行向量,B也是由行向量组成的列向量 此时AB乘积变为了两个新的向量的内积形式。按照内积定义我们有: 注意到
根据以上分析,我们可以将第一种和第四种方式放到一起,第二种和第三种放到一起分别进行理解。第一种方式先将A抽象为列向量,将B抽象为行向量,从而将矩阵乘法变为了一种外积的形式,而外积矩阵中的每一个元素是一个行向量和一个列向量的内积。这种方式每次得到C的一个元素 第四种理解方式先将A抽象为行向量,将B抽象为列向量,从而将矩阵乘法变为了一种内积形式,内积的各个组成部分 第二种方式将矩阵A、B都抽象为行向量,行向量的每个组成是一个列向量,A乘以B的每一个列向量得到一个新的列向量,并且该列向量存在于A的列向量空间内,A乘以B相当于是对A进行了列变换。第三种方式则将A乘以B看作是对B进行了行变换。 如果想对一个矩阵进行行变换,可以左乘一个矩阵;相应的如果想对矩阵进行列变换,可以右乘一个矩阵。这种思想被应用到高斯消元的过程中。
最后我们总结一下矩阵C(C=AB)到底是什么,C是一个矩阵,是一个多面孔的矩阵。它既是列向量组成的行向量,每个列向量是A的列空间的线性组合,又是行向量组成的列向量,每个行向量是B的行空间的线性组合;它是一个内积,内积的每个成分是一个外积,同时它又是一个外积,外积矩阵的每一个元素是一个内积。
参考资料: [1] http://videolectures.net/mit1806s05_strang_lec06/ [2] Introduction to Linear Algebra; Gilbert Strang |
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