自然对数

2024-07-09 14:15| 来源: 网络整理| 查看: 265

自然对数（英语：Natural logarithm）为以数学常数e为底数的对数函数，标记作 ln ⁡ x {\displaystyle \ln x} 或 log e ⁡ x {\displaystyle \log _{e}x} ，其反函数为指数函数 e x {\displaystyle e^{x}} 。[注 1]

自然对数 ln ⁡ ( x ) {\displaystyle \ln(x)} 的函数图像 自然对数 ln ⁡ ( x ) {\displaystyle \ln(x)} 的积分定义

自然对数积分定义为对任何正实数 x {\displaystyle x} ，由 1 {\displaystyle 1} 到 x {\displaystyle x} 所围成， x y = 1 {\displaystyle xy=1} 曲线下的面积 。如果 x {\displaystyle x} 小于1，则计算面积为负数。

ln ⁡ x = ∫ 1 x d t t {\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}\,}

e {\displaystyle e} 则定义为唯一的实数 x {\displaystyle x} 使得 ln ⁡ x = 1 {\displaystyle \ln x=1} 。

自然对数一般表示为 ln ⁡ x {\displaystyle \ln x\!} ，数学中亦有以 log ⁡ x {\displaystyle \log x\!} 表示自然对数。 [1][注 2]

目录 1 历史 1.1 十七世纪 1.2 十八世纪 2 形式定义 3 性质 4 导数 5 幂级数 6 积分 6.1 例子 7 与双曲函数的关系 8 连分数 9 复数对数 9.1 主值定义 10 常见科学用法 11 注释 12 参考资料 13 延伸阅读历史十七世纪双曲线扇形是笛卡尔平面 { ( x , y ) } {\displaystyle \{(x,y)\}} 上的一个区域，由从原点到 ( a , 1 a ) {\displaystyle (a,{\frac {1}{a}})} 和 ( b , 1 b ) {\displaystyle (b,{\frac {1}{b}})} 的射线，以及双曲线 x y = 1 {\displaystyle xy=1} 围成。在标准位置的双曲线扇形有 a = 1 {\displaystyle a=1} 且 b > 1 {\displaystyle b>1} ，它的面积为 ln ⁡ ( b ) {\displaystyle \ln(b)} [2]，此时双曲线扇形对应正双曲角。当直角双曲线下的两段面积相等时， x {\displaystyle x} 的值呈等比数列， x 2 x 1 = x 1 x 0 = k {\displaystyle {\frac {x_{2}}{x_{1}}}={\frac {x_{1}}{x_{0}}}=k} ， y {\displaystyle y} 的值也呈等比数列， x 2 x 1 = x 1 x 0 = 1 k {\displaystyle {\frac {x_{2}}{x_{1}}}={\frac {x_{1}}{x_{0}}}={\frac {1}{k}}} 。

约翰·纳皮尔在1614年[3]以及约斯特·比尔吉在6年后[4]，分别发表了独立编制的对数表，当时通过对接近1的底数的大量乘幂运算，来找到指定范围和精度的对数和所对应的真数，当时还没出现有理数幂的概念。按后世的观点，约斯特·比尔吉的底数1.000110000相当接近自然对数的底数 e {\displaystyle e} ，而约翰·纳皮尔的底数0.999999910000000相当接近 1 e {\displaystyle {\frac {1}{e}}} [5]。实际上不需要做开高次方这种艰难运算，约翰·纳皮尔用了20年时间进行相当于数百万次乘法的计算，Henry Briggs（英语：Henry Briggs (mathematician)）建议纳皮尔改用10为底数未果，他用自己的方法[6]于1624年部分完成了常用对数表的编制。

形如 f ( x ) = x p {\displaystyle f(x)=x^{p}} 的曲线都有一个代数反导数，除了特殊情况 p = − 1 {\displaystyle p=-1} 对应于双曲线的弓形面积（英语：Quadrature (mathematics)），即双曲线扇形；其他情况都由1635年发表的卡瓦列里弓形面积公式（英语：Cavalieri's quadrature formula）给出[7]，其中抛物线的弓形面积由公元前3世纪的阿基米德完成（抛物线的弓形面积（英语：The Quadrature of the Parabola）），双曲线的弓形面积需要发明一个新函数。1647年Grégoire de Saint-Vincent（英语：Grégoire de Saint-Vincent）将对数联系于双曲线 x y = 1 {\displaystyle xy=1} 的弓形面积，他发现x轴上 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 两点对应的双曲线线段与原点围成的双曲线扇形同 [ c , d ] {\displaystyle [c,d]} 对应的扇形，在 a b = c d {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} 时面积相同，这指出了双曲线从 x = 1 {\displaystyle x=1} 到 x = t {\displaystyle x=t} 的积分 f ( t ) {\displaystyle f(t)} 满足[8]：

f ( t u ) = f ( t ) + f ( u ) . {\displaystyle f(tu)=f(t)+f(u).\,}

1649年，Alphonse Antonio de Sarasa（英语：Alphonse Antonio de Sarasa）将双曲线下的面积解释为对数。大约1665年，伊萨克·牛顿推广了二项式定理，他将 1 1 + x {\displaystyle {\frac {1}{1+x}}} 展开并逐项积分，得到了自然对数的无穷级数。“自然对数”最早描述见于尼古拉斯·麦卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中[9]，他也独立发现了同样的级数，即自然对数的麦卡托级数。

十八世纪

大约1730年，欧拉定义互为逆函数的指数函数和自然对数为[10][11]：

e x = lim n → ∞ ( 1 + x n ) n , {\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},} ln ⁡ ( x ) = lim n → ∞ n ( x 1 n − 1 ) {\displaystyle \ln(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }n\left(x^{\frac {1}{n}}-1\right)}

1742年威廉·琼斯发表了现在的幂指数概念[12]。

形式定义

欧拉定义自然对数为序列的极限：

ln ⁡ ( x ) = lim n → ∞ n ( x 1 n − 1 ) . {\displaystyle \ln(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }n\left(x^{\frac {1}{n}}-1\right).}

ln ⁡ ( a ) {\displaystyle \ln(a)} 正式定义为积分，

ln ⁡ ( a ) = ∫ 1 a 1 x d x . {\displaystyle \ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.}

这个函数为对数是因满足对数的基本性质:

ln ⁡ ( a b ) = ln ⁡ ( a ) + ln ⁡ ( b ) . {\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b).\,\!}

这可以通过将定义了 ln ⁡ ( a b ) {\displaystyle \ln(ab)} 的积分拆分为两部分，并在第二部分中进行换元 x = t a {\displaystyle x=ta} 来证实:

ln ⁡ ( a b ) = ∫ 1 a b 1 x d x = ∫ 1 a 1 x d x + ∫ a a b 1 x d x = ∫ 1 a 1 x d x + ∫ 1 b 1 a t d ( a t ) {\displaystyle \ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{at}}\;d(at)} = ∫ 1 a 1 x d x + ∫ 1 b 1 t d t = ln ⁡ ( a ) + ln ⁡ ( b ) . {\displaystyle =\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\;dt=\ln(a)+\ln(b).}

幂公式 ln ⁡ ( t r ) = r ln ⁡ ( t ) {\displaystyle \ln(t^{r})=r\ln(t)} 可如下推出:

ln ⁡ ( t r ) = ∫ 1 t r 1 x d x = ∫ 1 t 1 u r d ( u r ) = ∫ 1 t 1 u r ( r u r − 1 d u ) = r ∫ 1 t 1 u d u = r ln ⁡ ( t ) . {\displaystyle \ln(t^{r})=\int _{1}^{t^{r}}{\frac {1}{x}}dx=\int _{1}^{t}{\frac {1}{u^{r}}}d\left(u^{r}\right)=\int _{1}^{t}{\frac {1}{u^{r}}}\left(ru^{r-1}\,du\right)=r\int _{1}^{t}{\frac {1}{u}}\,du=r\ln(t).}

第二个等式使用了换元 u = x 1 r {\displaystyle u=x^{\frac {1}{r}}} 。

自然对数还有在某些情况下更有用的另一个积分表示：

ln ⁡ ( x ) = − lim ϵ → 0 ∫ ϵ ∞ d t t ( e − x t − e − t ) . {\displaystyle \ln(x)=-\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left(e^{-xt}-e^{-t}\right).} 性质 ln ⁡ ( 1 ) = ∫ 1 1 1 t d t = 0 {\displaystyle \ln(1)=\int _{1}^{1}{\frac {1}{t}}\,dt=0\,} ln ⁡ ( − 1 ) = i π {\displaystyle \operatorname {ln} (-1)=i\pi \,} (参见复数对数) ln ⁡ ( x )

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