我表示很难过，曾经线代，矩阵学的也不算太差，可惜太久没用，导致现在连最基本的行列式都不会了。以后还是要多用，多用，多用，重要的事情说三遍。

定义：n阶行列式

等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积

的代数和，这里是1,2，...，n的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当是偶排列时带有正号，当是奇排列时带有负号。这一定义可写成

这里表示对所有n级排列求和，表示排列的逆序数。

由定义立即看出，n阶行列式是由n! 项组成的。

通俗理解：

行列式某元素的余子式：行列式划去该元素所在的行与列的各元素,剩下的元素按原样排列,得到的新行列式. 行列式某元素的代数余子式：行列式某元素的余子式与该元素对应的正负符号的乘积.

即行列式可以按某一行或某一列展开成元素与其对应的代数余子式的乘积之和。

举一个3*3的例子

结果为 a1·b2·c3+b1·c2·a3+c1·a2·b3-a3·b2·c1-b3·c2·a1-c3·a2·b1(注意对角线就容易记住了）

这里一共是六项相加减，整理下可以这么记：

a1(b2·c3-b3·c2) - a2(b1·c3-b3·c1) + a3(b1·c2-b2·c1)=

a1(b2·c3-b3·c2) - b1(a2·c3 - a3·c2) + c1(a2·b3 - a3·b2)

此时可以记住为：

a1*(a1的余子式)-a2*(a2的余子式)+a3*(a3的余子式)=

a1*(a1的余子式)-b1*(b1的余子式)+c1*(c1的余子式)

某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式。

行列式的每一项要求：不同行不同列的数字相乘

如选了a1则与其相乘的数只能在2，3行2，3列中找，（即在 b2 b3 c2c3中找）

而a1(b2·c3-b3·c2) - a2(b1c3-b3·c1) + a3(b1·c2-b2·c1)是用了行列式展开运算：即行列式等于它第一行的每一个数乘以它的余子式，或等于第一列的每一个数乘以它的余子式，然后按照 + - + - + -......的规律给每一项添加符号之后再做求和计算。

举一个4*4的例子

举个栗子~ 用三维空间：（x,y,z） 三个点： A(1,0,0) B(0,2,0) C(0,0,3)

行列式写为： ∣1 0 0∣ ∣0 2 0∣ = 6 ∣0 0 3∣

就是三个点构成的体积：长方体 1*2*3 = 6

--------------------------------------华丽的分割线------------------------------------------ 现在令：B为B‘(0,2,2)，C为C‘(3,0,3) 行列式写为： ∣1 0 0∣ ∣0 2 2∣ = 6 ∣3 0 3∣

三个点构成的长方体体积还是： 1*2*3 = 6

--------------------------------------华丽的分割线------------------------------------------ ∣1 0 0∣ ∣0 2 2∣ = 6 ∣3 0 3∣

变成方程的形式： 1x + 0y + 0z = t1 0x + 2y + 2z = t2 3x + 0y + 3z = t2

每一条方程可以画一个平面 这里有三个平面，他们相交得到的空间体积等于6

https://www.zhihu.com/question/26294660/answer/110251634