矩阵的初等变换是线性代数中的基本运算，初等变换包括三种初等行变换与三种初等列变换。分别为：

对应关系换成列，即为三种初等列变换。矩阵变换可以化简矩阵、解线性方程组、求矩阵的逆矩阵。

行阶梯形的定义：

1、对于行而言，若有零行，则零行均在非零行的下方；

2、从第一行开始，每行第一个非零元素前面的零逐行增加。

对于矩阵A，很显然符合行阶梯形的定义：

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 0 & 2 & 4 & 5 & 6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 7\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}

对第一行作 r1 - r2 变换得到矩阵：

\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 & -1\\ 0 & 2 & 4 & 5 & 6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}

 继续作 0.5 r2 变换

\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 2 & 5/2 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 7\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}

 r2 - 3/7 r3； r1 + 1/7r3 变换

\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 5/2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 7\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}

1/7 r3 变换

\begin{bmatrix}1 & 0 & -1 & -1 & 0\\0 & 1 & 2 & 5/2 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}

对于矩阵Amxn，通过有限次初等变换可以转换成行阶梯形的形式。

A的最简形：非零行的第一个非零元素是1，且1所在的列，非零元素均为零。显然最后一个行阶梯形矩阵符合A的行最简形定义。

A的标准型：左上角是一个r阶的单位矩阵，其余元素为零。