目录

1. 前言

1.1 为什么要进行矩阵分解？

1.2 矩阵与矩阵分解的几何意义？

2. LU三角分解

3. Cholesky分解 — LDLT分解

4. Cholesky分解 — LLT分解 

5. QR分解

6. 奇异值分解

7. 特征值分解

本文转自大佬博客：https://blog.csdn.net/Hansry/article/details/104174651

        本博客主要介绍在SLAM问题中常常出现的一些线性代数相关的知识，很早就想整理一下了，刚好看到Manii 的博客对矩阵分解的方法进行了总结，以方便求解线性方程组AX=B。在基于《计算机视觉—算法与应用》附录A 的内容 ，重点介绍了各种分解的适用情况、分解的特点。

        1、矩阵分解可以在一定程度上降低存储空间，可以大大减少问题处理的计算量（如对一个矩阵进行求逆、求解方程组等），从而高效地解决目标问题。         2、矩阵分解可以提高算法的数值稳定性。

        在矩阵分解中，我们常常期望将矩阵分解成正交矩阵、对角矩阵以及上三角（下三角）矩阵的乘积。以三维矩阵为例，一个普通矩阵的几何意义是对坐标进行某种线性变换，而正交矩阵的几何意义是坐标的旋转，对角矩阵的几何意义是坐标的缩放，三角矩阵的几何意义是对坐标的切边。因此对矩阵分解的几何意义就是将这种变换分解成缩放、切边和旋转的过程。

        三角分解又称为LU分解或LR分解，是将原正方（square）矩阵分解成一个上三角矩阵和一个下三角矩阵。

 其中L是单位下三角矩阵，D是对角矩阵，U是单位上三角矩阵。

        假设矩阵A为对称矩阵，且任意K阶主子式均不为0时(即正定)，A有如下唯一的分解形式：

即L为下三角单位矩阵，D为对角矩阵。LDLT方法实际上是Cholesky分解法的改进（LLT分解需要开平方），具体代码可见Chelesky分解LDLT用于求解线性方程组。

注：一个对称矩阵A是正定的充要条件是对任何非零向量 x 有  ，即对称矩阵A正定，非奇异，也可以说任意K阶主子式均不为0。

 这里举个例子，比如VINS的初始化过程中，在做视觉sfm和IMU预积分的PVQ对齐的时候（即在initial_alignment.cpp文件中的LinearAlignment()函数中），会在对齐流程的第3步利用平移约束估计重力、速度和尺度初始值时用到ldlt来求解待优化的变量[v0, v1, ...vn, g, s]。构建H△x=b的形式进行优化参数求解，具体代码如下：