证明　因为 A \boldsymbol{A} A 与 B \boldsymbol{B} B 相似，即有可逆矩阵 P \boldsymbol{P} P， 使 P − 1 A P = B (1) \boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{B} \tag{1} P−1AP=B(1) 因为单位矩阵与任何同阶方阵都是可交换的（证明见 “矩阵可交换的定义和性质”），所以有 λ E = λ E ( P − 1 P ) = P − 1 ( λ E ) P (2) \lambda \boldsymbol{E} = \lambda \boldsymbol{E} (\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{P}) = \boldsymbol{P}^{-1} (\lambda \boldsymbol{E}) \boldsymbol{P} \tag{2} λE=λE(P−1P)=P−1(λE)P(2) 将 ( 1 ) (1) (1) 和 ( 2 ) (2) (2) 代入矩阵 B \boldsymbol{B} B 的特征多项式 ∣ B − λ E ∣ |\boldsymbol{B} - \lambda \boldsymbol{E}| ∣B−λE∣，有 ∣ B − λ E ∣ = ∣ P − 1 A P − P − 1 ( λ E ) P ∣ = ∣ P − 1 ( A − λ E ) P ∣ = ∣ P − 1 ∣ ∣ ( A − λ E ) ∣ ∣ P ∣ = ∣ ( A − λ E ) ∣ \begin{align*} |\boldsymbol{B} - \lambda \boldsymbol{E}| & = |\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} - \boldsymbol{P}^{-1} (\lambda \boldsymbol{E}) \boldsymbol{P}| \\ & = |\boldsymbol{P}^{-1} (\boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{E}) \boldsymbol{P}| \\ & = |\boldsymbol{P}^{-1}| |(\boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{E})| |\boldsymbol{P}| \\ & = |(\boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{E})| \end{align*} ∣B−λE∣​=∣P−1AP−P−1(λE)P∣=∣P−1(A−λE)P∣=∣P−1∣∣(A−λE)∣∣P∣=∣(A−λE)∣​ 所以 A \boldsymbol{A} A 与 B \boldsymbol{B} B 的特征多项式相同。得证。