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1 线性空间与线性变换 1

1.1 线性空间的概念 1

1.2 基变换与坐标变换 4

1.3 子空间与维数定理 6

1.4 线性空间的同构 10

1.5 线性变换的概念 12

1.6 线性变换的矩阵 16

1.7 不变子空间 18

习题一 19

2 内积空间 22

2.1 内积空间的概念 22

2.2 正交基及子空间的正交关系 25

2.3 内积空间的同构 28

2.4 正交变换 29

2.5 点到子空间的距离与最小二乘法 31

2.6 复内积空间（酉空间） 33

2.7 正规矩阵 36

2.8 厄米特二次型 40

2.9 力学系统的小振动 44

习题二 45

3 矩阵的标准形 47

3.1 矩阵的相似对角形 47

3.2 矩阵的约当标准形 51

3.3 哈密顿—开莱定理及矩阵的最小多项式 58

3.4 多项式矩阵与史密斯标准形 60

3.5 多项式矩阵的互质性和既约性 68

3.6 有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解 74

3.7 系统的传递函数矩阵 78

3.8 舒尔定理及矩阵的QR分解 80

3.9 矩阵的奇异值分解 84

习题三 85

4 矩阵函数及其应用 87

4.1 向量范数 87

4.2 矩阵范数 91

4.3 向量和矩阵的极限 93

4.4 矩阵幂级数 98

4.5 矩阵函数 103

4.6 矩阵的微分与积分 113

4.7 常用矩阵函数的性质 115

4.8 矩阵函数在微分方程组中的应用 117

4.9 线性系统的能控性与能观测性 121

习题四 124

5 特征值的估计与广义逆矩阵 126

5.1 特征值的界的估计 126

5.2 圆盘定理 129

5.3 谱半径的估计 130

5.4 广义逆矩阵与线性方程组的解 132

5.5 广义逆矩阵A+ 135

习题五 137

6 非负矩阵 139

6.1 正矩阵 139

6.2 非负矩阵 142

6.3 随机矩阵 145

6.4 M矩阵 147

附录1 习题答案 154

附录2 典型例题解析 169

参考文献 181