近年来，随着科技技术的快速进步，人工智能行业发展愈加火热。在如今的AI洪流中， 机器学习、 深度学习以及强化学习等方法在人工智能领域内应用极为广泛。而当下对机器学习算法编程的软件不仅限于 C、Java、Python，一些高级软件也能很好地编写机器学习算法，比如 Matlab、Octave 等等。与此同时，为了进行更加便捷地开发算法， 科研人员逐渐向其中添加了许多的底层模块。 因而在其所兼容的一些高等数学的内容中， 矩阵理论就是一个在机器学习算法中被广泛应用的模块，也是每一位机器学习开发者所必需的掌握的基础知识。

       众所周知，在机器学习中，算法主要分为监督学习、半监督学习和非监督学习三大类。首先， 在监督学习中，我们为了对输入数据进行一定运算，并得到相对应的正确输出， 可能会需要大量的数据输入进行训练。 但是对于不同的输出类别，我们可能需要为其设计各自的运算过程，因而整个流程是十分繁杂的。 但我们可以将数据的输入与输出视为一维列向量， 用矩阵对输入列向量进行运算，将大大简化操作步骤。而且，常数矩阵满足各输入间的四则运算，函数矩阵则可以添加求幂、求对数、求指数等运算。

        其次， 在非监督学习算法中， 机器被要求能完全不依靠人类， 自主实现所输入数据的正确分类。正是由于矩阵在向量求内积过程中， 所体现出的很好的简洁性，它也被广泛地运用于计算各输入数据的正确分类问题中。 此外， 在深度学习领域中，神经网络算法也十分火热。 随着网络层数的增加， 我们需要对输入的参数进行多层运算，这样无形中在算法内部增加了大量的参数， 但换用矩阵连乘的思想进行运算时，将大大简化了整个算法的流程。

        此外，矩阵理论在机器学习的输入预处理过程中也有一定的作用。比如在物体识别、目标跟踪等图像处理领域时， 我们通常用矩阵去表示图像像素网格。因而，可以非常方便地进行图像滤波（改变像素值），角点检测亦或是边缘检测等任务。 其中一个完整的滤波过程，主要是将滤波器视为一个矩阵块，在图像这个大矩阵中寻找每一个相同行列值的网格，并对滤波器和网格对应同一个位置上的数单独相乘，之后求平均来获得滤波后的像素值。 这样的滤波避免了繁琐的乘加，使得算法看起来清晰明了。

        最后，对矩阵范数在机器学习领域中的基本应用进行简要介绍。 在深度学习领域中，为了训练得到一个比较好的网络， 其中就需要避免过拟合现象的发生。因而在正则化过程中，有时可以以增加一定偏差的代价来换取更小的方差。其中常用的方法之一就是在目标函数中引入矩阵范数，对其复杂性做出惩罚。 代价函数的一般形式为：

       如上式中所示，右边前一项是经验风险项，后一项是正则化项。 当正则项系数alpha=0时，表示正则项不起作用；随着alpha增大，则正则化项惩罚作用越大。常取L2范数进行正则化：

        此处我们使参数w表示theta，则目标函数变为：

        对上式求梯度，则有：

        之后， 可以使用梯度下降法逐步更新权重w，使其向着梯度的负方向逐渐收敛。进一步，可取：

        w*为损失函数的最优解，取H矩阵为J在w*处计算的Hessian矩阵，则有：

        正如在矩阵分析中所学，由于Hessian矩阵是一个半正定矩阵，是一个实对称矩阵，必满足下式：

        可将实对称Hessian矩阵分解为对角阵和一组特征向量的标准正交基，则：

        将上面两式进行结合，则有：

        由上式可知，权重w会沿着由H的特征向量所定义的轴缩放未经标准化的目标函数最优解w*。总的来说，通过L2正则化，在显著减小代价函数方向上的参数将会相对完整的保留，其余的参数会在训练过程中逐渐衰减至0。

        总而言之，矩阵在机器学习领域内中具有十分宽泛的应用。 虽然其不能减少计算机的运算量，且有不同于常数的乘法要求，但是矩阵能使得机器学习算法更加简洁，减少人的操作量，并对算法的修改更加直接快捷。