我们知道
![]() 和
![]() 均为域
![]() 上的代数，但是在一般情况下它们并不是交换环，也即不满足乘法交换律。但是在实际的理论研究和实际应用中，交换性可以给问题带来极大的方便，所以对于交换性的研究是有必要的。
由于
![]() 和
![]() 是同构的，所以只要研究其中一个的交换性即可，本文以线性变换的研究为主。
首先，我们从最简单的情况入手，显然一个矩阵
![]() 和它本身是可交换的。进而我们有下面的简单结论：
定理1：设
![]() ，
![]() 。则
![]() 与
![]() 是可交换的。
从一个矩阵的多项式和它本身可交换，我们很自然会去思考，和一个矩阵可交换的矩阵中，有多少可以表示为该矩阵的多项式，这是本文重点研究的内容。
先给出几个符号上的说明：
定义1：
![]() 表示与矩阵
![]() 可交换的矩阵全体，
![]() 表示关于矩阵
![]() 的多项式全体。
定义2：设
![]() 为两个线性空间，则
![]() 称为
![]() 与
![]() 的外直和，且
![]() 。
接着我们给出几个引理：
引理1：设矩阵
![]() ，其中
![]() 。则
![]() 。
引理2：设
![]() ，且
![]() ，则
![]() 与
![]() 同构。
引理3：设
![]() ，且
![]() 有
![]() 个不同的特征值。设
![]() 使得
![]() ，则有
![]() 且
![]() 的一个基为
![]() ，其中
![]() 表示第
![]() 位置上元素为1，其余为0的基本矩阵。
引理1属于比较基本的矩阵的运算推理，请读者自证。
引理2由如下简单推理可以看出：
![]()
引理3结合引理2直接验证即可。
有了这些准备工作以后，我们给出本文的两个主要结果：
定理2：设
![]() 为域
![]() 上的
![]() 维线性空间，
![]() 。若
![]() 有
![]() 个不同的特征值，那么与
![]() 可交换的每一个线性变换
![]() 能唯一地表示为
![]() 的一个次数小于
![]() 的多项式。
由引理3，我们知道
![]() 。
由于线性变换的最小多项式与特征多项式在
![]() 中有相同的根，因此
![]() ，其中
![]() 分别为线性变换
![]() 的最小多项式与特征多项式。
可以证明
![]() ，另外，根据定理1的叙述，我们显然有
![]() 。
因此，结合
![]() 及
![]() ，我们有
![]() 。
注意到
![]() 为
![]() 的一组基，故若
![]() ，则
![]() 可以唯一表示成
![]() ，即
![]() 可以唯一表示成
![]() 的一个小于
![]() 次的多项式。
定理3：设
![]() 为域
![]() 上的
![]() 维线性空间，
![]() 。
![]() 的最小多项式
![]() ，其中
![]() 两两不等；
![]() 的特征多项式
![]() 。
（1）
![]() ，
![]() 与
![]() 同构；
（2）若
![]() ，则
![]() 。
只要证明（1）即可，（2）为（1）的直接推论。
由于
![]() 的最小多项式在域
![]() 中可分解为一次因式的乘积，故可对角化，从而存在
![]() 中的一个基
![]() 使得
![]() 在该基的矩阵表示为对角矩阵 :
![]() 。
设线性变换
![]() 在基
![]() 下的表示矩阵为
![]() ，则
![]()
因此
![]() 。
令线性映射
![]() ，
易证
![]() 为双射，且保持加法和纯量乘法运算，因此
![]() 为同构映射。
从而
![]() 与
![]() 同构，
![]() 。
通过定理2，3，我们可以得知，对于
![]() 维空间
![]() 上的线性变换
![]() 有
![]() 个不同的特征值时，所有与
![]() 可交换的线性变换均可表示为
![]() 的多项式。若
![]() 可对角化，但特征多项式有重根时，存在与
![]() 可交换的线性变换不能表示为
![]() 的多项式。
参考文献：丘维声 著 《高等代数》
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