1 解线性方程组

以前我们学习过代入消元法解线性方程组，比如这个四元方程组： 

 尝试用代入消元法来解一下它，过程如下：

解的过程比较复杂，如果未知数继续增加，代入消元法会更痛苦。有没有一种方法能够通过方程直接写出解呢？

还真有这样的方法，这就是数学家加百列·克拉默发现的克拉默法则

下面先给出它的定义：

定理（克拉默法则）. 有  个未知数，  个方程所组成的线性方程组： 

 它的系数矩阵是n阶方阵  。如果对应的行列式  不等于0，即:

 则方程组有唯一解，并且解为：

 其中  是把系数矩阵  中第  列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的  阶矩阵，即: 

 这就是克拉默法则（Cramer's Rule），也称为克莱姆法则。

可以看到，通过方程，我们可以直接将解写为两个行列式的商的形式。

2 克拉默法则的发展史

虽然规则最终冠以了克拉默的名字，但是为此付出的绝不止他一个人，下面我们就走近历史，看看克拉默法则发展的故事。

2.1 莱布尼茨的建议

在十七世纪数学家笛卡尔提倡使用  等字母来表示未知数，才开始形成了现在的方程，比如这个二元方程：

可以解得：

 可以发现，未知数  最终都写成了两个式子相除

再进一步观察，还可以看到分母都为  ，分子是不同的，得寻找分子的规律。

数学家莱布尼茨指出，这个规律可能与未知数的位置有关，为此他给未知数加上了索引，用  来表示未知数。方程就变为了：

解变为： 

 他将这一改变写在了1700年出版的《教师学报》上，并建议可以继续往这个方向继续研究。

2.2 克拉默的研究

后来瑞士数学家克拉默根据这一线索，对这个方程组进行了进一步修改，他用字母  来表示第一列的系数，  来表示第二列的系数，  来表示常数项，方程变为

 解变为： 

 改为这样后克拉默发现分子分母的差别不大，以 

 为例。就是将分母中  变为  ,  变为  ,而前面说过  代表第一列，  代表第二列，  代表常数项，因此  的分子就是将分母中的第一列替换为常数项：

 同样

 是将分母中的  变为  ，  变为  ,可以看出  是将分母中的第二列替换为了常数项。

 继续研究克拉默发现对于三元方程组，四元方程组，五元方程组都符合这个规律。如三元方程组：

 这个方程第三个未知数  的值为： 

 第三个未知数是将第三列的  替换为了  。

这就是克拉默本人给出的克拉默法则，他将这个结论发表在了1750年出版的《代数曲线分析》上。

2.3 大神们的改良

虽然克拉默已经给出了规律，但是由于结论太冗长了，并没有被推广开。后来又经过拉普拉斯等人的努力，发展出了行列式理论。

根据行列式的运算规则，可以将分子分母写成行列式的形式，如三阶方程的第三个未知数 

写成行列式的形式后得到：

 不过这和我们现在常看到的形式还有点区别，这是因为后来大神柯西又引入了双下标的记号法，并用字母  表示常数项

方程变为： 

 变为：

  这就是我们现在看到的克拉默法则。

3 几何证明

在1750年克拉默发表文章时，因为行列式技术还不成熟，因此他只给出了结论，没有给具体的证明过程。今天我们就来帮他完善一下证明过程。

首先来看二元的情况：

 对于这样一个方程组，我们习惯横着看：

看成是由两个方程组成，这样在几何上，它们可以看作是两条直线，方程组是求两个直线的交点。

这也是我们前面学习的代入消元法，而我们说过克拉默法则与代入消元法不同，我们换种思路,我们竖着看这个方程，每一列都用一个向量来表示：

我们可以在平面中画出这几个二维向量：

现在我们需要找出一个相等的量帮助我们求未知数，这里我们可以用相等的面积。

可以看到图中的两个平行四边形是同底同高的平行四边形，它们的面积相等。因此有： 

 变形后就能得到：

 我们还能得到这一组平行四边形面积相等

这一组我们可以得到：

 二元时我们通过几何意义，得出了克拉默法则的形式

4 代数证明

对于n个未知数的方程组是这样 

 根据克拉默法则，得出它的解  为：

 变下形就是：

 现在我们从等式左边 

 开始，看它是怎样一步步计算等于等式右边的：

第一步：使用行列式的数乘法则，将系数  乘到第一列中，行列式的值不变，即： 

 第二步：使用行列式的倍加法则，将第二列的  倍，第三列的  倍...一直到第  列的  倍加到第一列，行列式不变，即：

 又因为：

 这样就得出了： 

 我们用同样的通俗易懂、图形化的方式，对《线性代数》、《单变量微积分》、《多变量微积分》、《概率论与数理统计》进行了精讲