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目前已更新高数前两章和线代前三章（一定会在今年内更完）

1.1矩阵

矩阵：mxn个数组成的m行n列的数表，称为mxn矩阵

系数矩阵：只由线性方程组系数组成的矩阵

增广矩阵：在系数矩阵的基础上加上常数，记作A-(横在A上方)

同型矩阵：行数和列数分别相等的两个矩阵

相等矩阵：元素完全相同的两个矩阵

行向量：一个1xn矩阵

列向量：一个mx1矩阵

方阵：行数与列数相等的矩阵，n阶方阵记作An

主对角线：a11,a22,a33…即从左上角到右下角的一系列元素

对角矩阵：只有主对角线上有元素的方阵，记作diag(d1,d2,d3,…dn)

数量矩阵：主对角线上元素都相等的对角矩阵

单位矩阵：主对角线上元素都为1的对角矩阵，n阶单位矩阵记作En

三角矩阵：当方阵A的主对角线下（上）方的元素都是0时，称A为上（下）三角矩阵

对称矩阵：a i j =a j i（就是关于主对角线对称）

反对陈矩阵：a i j=- a j i

转置：将矩阵的行列互换，原来的第一行变成第一列，以此类推,记作A^T

(A^T)^T=A

负矩阵（两个矩阵之间的关系）：bij=-aij，记作-A

推论：当A=-A^T时，A为反对称矩阵。

1.2矩阵的运算

加法

A+B=B+A（交换律）

A+(B+C)=(A+B)+C（结合律）

A+O=A

一定存在B，使A+B=O

数乘

1A=A

λ(A+B)=λA+λB

(λ+μ)A=λA+μA

λ(μA)=(λμ)A

乘法（C=AB）

1.只有A的列数等于B的行数时，AB才有意义（从行列数的角度来看，乘法就是mxn X nxq=mxq）

2.计算方式：C的第i行第j列的元素等于第一个矩阵A的第i行与第二个矩阵的第j列的对应元素乘积的和

一般来说：AB≠BA（注：若满足AB=BA，那么C一定是对称矩阵）

存在A≠O,BO，但AB=O的情况

推论：AB=AC不能得到B=C

乘法规律有以下几条：

1.（AB）C=A（BC）

2.λ（AB）=（λA）B=A（λB）

3.A（B+C）=AB+AC,（B+C）A=BA+CA

4.（A+B）^T=A^T+B^T,（λA）^T=λA^T,(AB)^T=B^TA^T（注意反过来了）

A^m记作A的m次方幂，A^0=En

1.3矩阵的分块

分块矩阵的原理很简单，类似于中学的视作整体法，所以不赘述，讲一个该节的结论

AA^T=O的充分必要条件是A=O

1.4方阵的行列式（detA）

只有方阵有行列式，行列式是数

排列：由1~n的n个数排成的有序数组（一个数只出现一次）

12……n称为自然排列

逆序：观察任意两个数，如果前面的数大于后面的数，即为逆序

逆序数：一个排列逆序的数量，记作τ（i1i2i3……in）

奇排列：逆序数为奇数的排列，偶排列同理

对换：交换两个数的位置

定理1：排列经过一次对换后其奇偶性改变

定理2：任一排列可由自然排列n次对换得来，且n与τ（i1i2i3……in）的奇偶性相同

行列式定义为数Σ（-1）^τ（i1i2i3……in）x a1j1a2j2a3j3……anjn

看公式很容易看不懂，大致来说就是在每一行取一个元素（不能多去）相乘，再乘以这些元素列数组成的逆序数，最后把所有情况相加，这种方法着实难算，基本只用于123阶方阵

二阶行列式=a11a22-a12a21

三阶行列式=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a11a23a32-a12a21a33

三角矩阵的行列式就是主对角线元素相乘

推论：detA=det(A^T)

行列式性质：

1.若方阵有两行（列）相同或成比例，则detA=0

2.detE=1

3.方阵A有零行，则detA=0

矩阵的初等行变换：倍乘变换，倍加变换，交换变换

定理3

detA(kri)=kdetA（倍乘变换）

detA(rj+kri)=detA（倍加变换）

detA(ri↔rj)= -detA（交换变换）

通过初等变换可以把矩阵化成上下三角形式，这样计算行列式只要对角线相乘就可以了

推论 det kA=kⁿdet A(这个在后面简化求特征值的时候会用到)

余子式：元素aij的余子式指方阵划去aij所在行和列后形成的新的矩阵的行列式，记作Mij

代数余子式Aij=(-1)^(i+j)Mij

计算行列式的方法2：行列式等于某一行的元素与其代数余子式乘积之和

例如四阶矩阵，我们可以通过初等变换，把第一行变成1 0 0 0，这样就可以降阶变成求三阶行列式。

推论 一行的元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为零

k阶子方阵：n阶方阵中位于第i1,…ik行（k≤n）和第j1,…jk列交叉处的元素按照它们在A中的相对位置构成的方阵。其行列式为detA的一个k阶子式

该概念可以看作，原来的余子式是原方阵去掉了一个1x1的元素，而现在可以去掉2x2及以上的元素，剩下来的也可以看作余子式

Laplace定理：任意取定行列式的某k行，位于这些行上的所有可能的C(k,n)个k阶子式与各自的代数余子式乘积之和，等于原行列式

定理4 detAB=detAdetB

范德蒙德行列式：第n行是第二行的n-1次方，detA=Π（ai-aj）（i>j）

1.5逆矩阵

对于矩阵A，如果存在B，使AB=BA=E，则称A可逆，记B=A^(-1)，为A的逆矩阵；否则就称A不可逆（注意，只由AB=BA，推不出可逆，必须要等于E）

定理1 逆矩阵唯一

只有A为方阵时才讨论可逆性

E的逆矩阵是他本身

定理2 若A可逆，则AB=AC可以推出B=C

伴随矩阵：伴随矩阵看图反而容易看错，跟着我的口述画图理解更佳。即矩阵A的每一个元素对应的代数余子式按原来的对应位置排列，这时候还不是伴随矩阵，再将该矩阵转置一下，这才是伴随矩阵。很多同学忘记转置了，所以就会错误。

伴随矩阵记作A*

定理3 AA*=A*A=丨A丨E（若detA=1,A*也是可逆矩阵）

所以，A^(-1)=A*/detA

推论 若A可逆，则det A^(-1)=1/detA

另外 detA*=（detA）^(n-1)

（AB）^(-1)=B^(-1)A^(-1)，这个形式与之前的转置十分类似

A可逆则A^T也可逆

1.6矩阵的初等变换

初等变换之前已经讲过了

阶梯形矩阵:1.零行在非零行的下面2.每个非零行的第一个非零元素（主元）位于上一行的第一个主元的右边。

如果把阶梯形矩阵左下角的0看作台阶，它就是一级一级向下向右的

行最简形矩阵：在阶梯形矩阵矩阵的基础上，每行的主元为1，且主元所在列的其余元素都为0

标准形矩阵：左上角为单位矩阵，其余元素全为0

定理1 任意矩阵均可通过初等变换变为标准形矩阵

引理：若方阵A与B等价（即可以通过初等变换相互变）则A可逆当且仅当B可逆

换句话说，初等变换不改变矩阵的可逆性

定理2 矩阵可逆当且仅当其行最简形矩阵是单位矩阵

推论 方阵A可逆当且仅当它是有限个初等矩阵的乘积

也就是左乘行变右乘列变，例如ABC，A矩阵如何从单位矩阵行变换变来的，这些行变换就会映射到B身上，C是如何从单位矩阵列变换变来的，这些列变换也会映射到B身上

求逆矩阵的新办法，将矩阵(A,E)通过行变换变为（E,A^（-1））

解矩阵方程AX=B的方法：1.X=A^(-1)B

2.A^（-1）(A,B)=(E,A^(-1)B)，就是对（A,B）进行初等行变换，变成(E,A^(-1)B)，去掉左边的单位矩阵，右边的就是解

1.7矩阵的秩

矩阵的秩：矩阵A的不等于零的子式的最高阶数，记作rank(A)

基本结论：

1.若A是mxn矩阵，则秩≤min{m,n}

2.n阶方阵可逆当且仅当rank(A)=n

3.rank(A)=rank(A^T)

引理：阶梯形矩阵的秩等于其非零行的个数

定理1：初等变换不改变矩阵的秩

定理2：两个同型矩阵等价当且仅当它们秩相等

相关性质：

1.rank(AB)≤min{rank(A),rank(B)}

2.若AmxnBnxl=O,则rank(A)+rank(B)≤n

3.max{rank(A),rank(B)}≤rank(A,B)≤rank(A)+rank(B)

4.rank（A+B）≤rank(A)+rank(B)

线性方程组有解的判定定理：设n元线性方程组的增广矩阵为A▔

1.无解当且仅当rank(A)

2.有唯一解当且仅当rank(A)=rank(A▔)=n

3.有无穷多解当且仅当rank(A)=rank(A▔)

自由未知量：可以自由取值的未知量，只有rank(A)

齐次线性方程组一定有零解，当rank(A)=n时只有零解。若为方阵，则detA≠0时只有零解

这样就有了解齐次线性方程基本步骤：

1.写出增广矩阵，用虚线隔开未知量系数和常数，这样就能同时处理两个矩阵了

2.初等行变换化为行最简形矩阵

3.重新写成方程组的形式，右边都是自由未知量。具体怎么写呢？以第一行为例，如果第一行是10010，就先写成x1+x4=0，再把左边只保留x1（主元），变成x1=-x4，每一行都这么处理，显然x4是自由未知量

4.自由未知量依次取值，比如自由未知量有x1,x2,x3。那么就依次取值为(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1),得到若干列向量，每个前面乘以一个系数kn，再相加即可

非齐次线性方程的解法只要在最后一步做出一点修改，添加一个不乘以系数的自由未知量全取0的常数列向量就可以了，最后是一个经典的解=特解+齐次版本的通解形式，这个形式在微分方程也会涉及

克拉默法则：

方程个数与未知数个数相同可用

设A=aij是n阶方阵，则n元线性方程组AX=β有唯一解当且仅当detA≠0.此时，xi=detAi/detA

其中Ai是将矩阵A的第i列用β替代得到矩阵

这样解方程变成了算行列式，变简单了很多，但很少用到