最近在做信号处理方面的内容，非常后悔本科没有清楚认识到信号与系统的重要性，接下来应该会持续更新信号与系统和通信原理在工程实践中的应用。今天先从最基本的卷积定理开始。

  初见这个定理觉得非常神奇，信号只需要拿过来和题目中提供的系统的冲激响应卷积一下，实在不行就转换到频域中与系统的传递函数相乘再反变换一下（参考时域卷积等于频域相乘）就可以得到我们想要的通过系统的信号了。但是凭什么？凭啥bi~一下我就做对题了？首先我们先认识冲激函数：  我们可以理解为把一个矩形函数令他的宽趋近于无限小，在这一点就可以做到一个单位冲激函数，即：矩形脉冲->脉宽趋于0-> 单位冲激函数 = 狄拉克δ函数。

  我们得到了一个最普通的冲激函数（t），然后呢？我们还可以把他在时域中移位，即（t-），即我们将这个冲激转移到了位置。我们还可以做什么呢？我们还可以乘以一个系数，即E（t-），这就代表我们不仅将冲激移位了，我们还将其幅度定义下来了。

  现在就比较爽了，我们假设有一个信号x(t)，无所谓他长什么样子，我们都可以用冲激表示出来，类似于下面这张图，每一根线代表一个冲激信号，只要信号够多，就可以搞成N个E（t-）的信号叠加起来。

如此，我们就可以进入下一步，什么是冲激响应过系统？

工程上，我们一般遇见的都是线性时不变系统。一般的有这么几个性质：（一）叠加性与均匀性 （二）时不变系统（三）微分特性 （四）因果性  对于今天的问题，我们主要关注性质一和四。

而每个系统都有它独有的特性，你给他不同的信号他的响应也是不同的。就像你的女朋友，你送她一束玫瑰花，过了你女朋友这个系统以后她就会对你的好感度上升。而你好homie若是送你女朋友这个系统一束玫瑰花，你女朋友应该会响应一个巴掌。如下图所示，玫瑰花是冲激，女朋友是系统，而得到的结果为响应

同理，同一个系统对不同的输入有着不同的响应，则易知不同的系统对同一个信号的响应也是不同的，参考你同时送你女朋友和你好homie女朋友同一朵花。  

即在信号处理中，冲激响应/脉冲响应（Impulse response）或者 impulse response function (IRF)： 一般是指当对系统的输入为单位冲激函数时的输出（响应）。更一般地说，脉冲响应是任何动态系统对某些外部变化的反应。那这样一来，我们想探究一个系统的特性，只需要描述这个系统对一个单位冲激信号的响应，就可以表示这个系统了。

我们知道了用冲激响应就可以表示一个系统，那然后呢？我们的信号又不是非常简单的一个冲到天际的冲激信号，做题的时候往往都是变化的连他家人都不认识的一个复杂信号。我们利用第一节的知识，任何一个信号都可以用冲激信号表示，即任何形式的输入信号，都可以分解成无穷多个不同比例的冲激信号，而输出就是相应的不同比例的冲激响应的累加，我们可以将这个信号表示以后，是不是把每个冲激信号得到的响应加起来就得到这个系统的输出了？也就是你不仅送了玫瑰花，还送了YSL、单反、手机还有小蛋糕，每个都起了一定的响应，全都叠加起来你就知道你把这一堆东西都送进你女朋友这个系统最终会得到你女朋友什么样的响应了。

即：假如一个复杂的输入信号可以看成是很多个单位冲激信号的组合，那么因为线性时不变系统具有叠加性，那么分别求出系统对每个单位冲激信号的分别的响应输出信号，再把这些响应输出信号相加，那么就可以得出这个系统的输出。这种方法叫做卷积和。

这种把他等效成面积然后求和的操作我大一微积分就学过了，简单！我已经完全掌握卷积了！但仔细一看，不对啊，你这个式子，我只想要t2时间的输出，你把t2之前所有的都加起来干（集贸）什么啊？？？？

根据这个图其实可以更直观一些，

标准公式中积分的式子其实是之前每个响应作用到当前时刻的值即矩形的高，后面的dt是矩形的宽

我们所求得T2时间的输出，其实是T2之前所有信号作用与系统后产生的效果输出之和，因为系统具有因果性，之前的响应不会这么快结束，最终作用在T2时不仅是T2时刻的输入造成的，也有之前的响应。就像你给你女朋友两周前送了一个美味小蛋糕，这周你再送个手机，得到的响应肯定是小蛋糕+手机的响应。

所以这个式子像当于把当前时刻下，以前时刻的响应作用余晖加起来。

附B站直观解释卷积和单位脉冲响应：【直观解释】卷积和单位脉冲响应_哔哩哔哩_bilibili