线性代数矩阵知识点 |
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文章目录
(一),矩阵的基本概念1,矩阵的定义
(二),矩阵的运算1,矩阵的加减法2,数与矩阵的乘法3,矩阵的乘法4,矩阵的转置5,方阵的行列式6,伴随矩阵
(三),可逆矩阵的逆矩阵1,可逆矩阵及其逆矩阵的定义2,逆矩阵的判别3,可逆矩阵的性质4,逆矩阵的求法5,正交矩阵
(四),矩阵的初等变换和初等矩阵1,矩阵的初等变换和初等矩阵的定义2,矩阵的初等变换和初等矩阵的应用重点:初等变换法求逆矩阵
(五),分块矩阵(六),矩阵的秩
(一),矩阵的基本概念
1,矩阵的定义
定义1,将m×n个数aij(矩阵的元素)(i=1,2,3…,m;j=1,2,…,n)排成m行n列的矩形数阵(为了表达这一整体,将其括以圆括号) 例:
注意 1, 当矩阵的元素都为实数时矩阵为实矩阵 注意 2, 当矩阵的元素都为复数时矩阵为复矩阵 注意 3, 当矩阵的元素都为0时矩阵为零矩阵简记为0 注意 4, 将1行n列的矩阵称为行矩阵或行向量 例: 注意 5, 将1列n行的矩阵称为列矩阵或列向量 例: 补充:通常用黑体希腊字母α,β表示列矩阵(向量),而用 αᵀ,βᵀ,…表示行矩阵(向量)。 注意7, 主对角线以下都为0的n阶方阵称为n阶上三角矩阵 例:
具体如下 例如:数k与矩阵A的乘积,简记为kA或Ak (就是将矩阵中每一个元素都乘以一个系数k) 例如:矩阵A与矩阵B相乘就是用矩阵B的列乘矩阵A的行。 反之:矩阵B与矩阵A相乘就是用矩阵A的列乘矩阵B的行 注意:不是任意两个矩阵都能够相乘,只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时两个矩阵才能相乘,且当两个矩阵能够相乘时,得到的乘积矩阵的行数等于第一个矩阵的行数,列数等于第二个矩阵的列数 注意: 矩阵的乘法不一定满足交换律,也就是说AB不一定等于 BA 注意: 两个不为零的矩阵相乘可以是零矩阵,也就是说AB=0不一定等于A=0或B=0 注意: 消失律在矩阵乘法中不成立,也就是说AB=AC不一定能推出B=C. 矩阵乘法满足如下的规律: (1)乘法结合律:(AB)C=A(BC) (2)乘法与加法分配律:A(B+C)=AB+BC (3)k(AB)=(kA)B= A(kB)(k为一个常数) 定理: 任意一个矩阵乘以单位矩阵都等于其本身 AEn=A,EmA=A A0n=0,0mA=0 定理: 任意一个矩阵乘以零矩阵都为零矩阵 单位矩阵如下图 ************同时,矩阵乘法还可用于线性方程组中 将(x1,x2,x3…xn)被乘数作为一个被乘矩阵 而方程组系数可以作为一个矩阵去乘上述矩阵 线性方程组的答案也可作为一个矩阵等于以上两个矩阵相乘 4,矩阵的转置1,(Aᵀ)ᵀ=A 2,(A+B)ᵀ=Aᵀ+Bᵀ 3,(kA)ᵀ=kAᵀ(k是一个常数) 4,(AB)ᵀ=BᵀAᵀ
运算规律如下:
定义1,对于n阶方阵A,如果存在一个n阶方阵B,使得 AB=BA=E 定义2,假设矩阵B和C均为A的逆矩阵,则 AB=BA=E,AC=CA=E B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C 总结:所以A的逆矩阵是唯一的 2,逆矩阵的判别
充分性–> 补充:当|A|不等于0,则称A是非退化矩阵或非奇异矩阵;否则,即|A|=0时,则称A时退化矩阵或奇异矩阵 总结: n阶方阵A,如果A的行列式|A|是可逆矩阵的充分必要条件是A是非退化矩阵. 3,可逆矩阵的性质
设A是一个n阶方阵,如果A满足 AAᵀ=AᵀA=E 与逆矩阵的定义相比较,可以得出A^-1=Aᵀ (四),矩阵的初等变换和初等矩阵 1,矩阵的初等变换和初等矩阵的定义注意: 单位矩阵经过一次初等变换得到矩阵叫做初等矩阵 以下三种变换称为矩阵的初等变换 注意:左乘行变换,右乘列变换 (1)初等方阵均可逆 (2)初等方阵其逆矩阵也是初等方阵 (3)初等方阵的转置也是初等方阵 2,矩阵的初等变换和初等矩阵的应用矩阵A经过有限次初等(或单独行、单独列)变换得到矩阵B,记作A(行或列)等价于B,记作 A ~B。 等价的性质: 反射性 A和它本身等价 对称性 A和B等价,则B和A是等价的 传递性 A等于B B等价于C 则A等价于C 对于矩阵A,B mxn有以下结论 A行等价于B的充要条件是存在m阶的可逆矩阵P使得 PA=B (P左乘A等于B) A列等价于B的充要条件是存在n阶的可逆矩阵Q使得 AQ=B (Q右乘A等于B) A等价B的充要条件是存在m阶的可逆矩阵P和n阶的可逆矩阵Q使得PAQ=B 重点:初等变换法求逆矩阵例如: 设A是一个n阶的可逆矩阵,则A经过一系列初等变换后可形成一个n阶的单位矩阵 P1P2P3P4P5…PnA=En 而P作为行初等矩阵也是初等矩阵,而初等矩阵均可逆所以 A^-1=P1P2P3P4…PnEn 可以将可逆矩阵A及单位矩阵En左右并排放在一起,组成一个nx2n矩阵(A,En)于是 P1P2P3…Pn(A,En)=(P1P2…PnA,P1P2…PnEn)=(En,A^-1) (A,En)----->初等行变换(En,A^-1) 同理: 初等列变换也是如此 所谓分块矩阵就是把一个高阶矩阵看做是由一些低阶小矩阵组成的,在运行时这些小矩阵相当于元素,这些小矩阵称为高阶矩阵的子块 分块矩阵具体运算过程和普通矩阵几乎一样 例如: 矩阵的秩 R(A)大于等于0小于等于min{m,n}。 r(A) = m 取了所有的行,叫行满秩 r(A) = n 取了所有的列,叫列满秩 r(A) < min{m,n}则叫做降秩 A是方阵,A满秩的充要条件是A是可逆的(转换为A的行列式不等于0,所以可逆) r(A) = r的充要条件是有一个r阶子式不为0,所有r+1阶子式为0 矩阵A(m乘n阶)左乘m阶可逆矩阵P,右乘n阶可逆矩阵Q,或者左右乘可逆矩阵PAQ不改变其秩。 对矩阵实施(行、列)初等变换不改变矩阵的秩 阶梯形矩阵的秩 r(A)等于非零行的行数。 A的秩等于A转置的秩 任意矩阵乘可逆矩阵,秩不变 |
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