平面方程与点到平面的距离 |
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1. 平面的点法式方程
过空间的一点,与已知直线垂直的平面只有一个。因此,给定平面上的一点和垂直于该平面的一个非零向量,平面就确定了。 这就是所谓的点法式方程的基础。 (1)法向量:任意垂直与一个平面的向量被称为法向量。 法向量有无数个。 (2)平面的点法式方程:假设平面上的一个点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) M_0(x_0, y_0, z_0) M0(x0,y0,z0),已知该平面的法向量为 n = ( A , B , C ) n=(A, B, C) n=(A,B,C), 那么对于平面上的任意一点 M ( x , y , z ) M(x, y ,z) M(x,y,z), 向量 M 0 = ( x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) M_0 = (x-x_0, y-y_0, z-z_0) M0=(x−x0,y−y0,z−z0)与法向量垂直,即 n ⋅ M M 0 = 0 n \cdot MM_0 = 0 n⋅MM0=0, A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + c ( z − z 0 ) = 0 A(x-x_0)+B(y-y_0)+c(z-z_0)=0 A(x−x0)+B(y−y0)+c(z−z0)=0 2. 点与平面的关系 (1)点与平距离的计算假设平面的方程为
A
x
+
B
y
+
C
z
+
D
=
0
Ax+By+Cz+D=0
Ax+By+Cz+D=0平面外的一点
P
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
P_0(x_0, y_0, z_0)
P0(x0,y0,z0), 在平面上取一点
P
1
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
P_1(x_1, y_1, z_1)
P1(x1,y1,z1), 那么点
P
0
P_0
P0到平面的距离d就是向量
P
1
P
0
P_1P_0
P1P0在法向量
n
n
n上投影的长度。 同济版 高等数学 |
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