＝0.5÷（4＋0.25）

＝0.5÷4.25

＝2/17（天）

2/17天≈2时49分25秒

④穿墙距离，大老鼠：1＋2＋4×（2/17）＝59/17（尺）≈3.47（尺）

小老鼠：1＋1/2＋1/4×（2/17）＝26/17（尺）≈1.53（尺）

答：大约2天2时49分25秒后两鼠相遇，相遇时大老鼠穿墙约3.47尺，小老鼠穿墙约1.53尺。

解题的核心思路来源于“相遇问题”：

相遇时间＝路程和÷速度和

难点是：速度并不是固定不变的。而是，越战越勇的大老鼠：“日自倍”，每天的穿墙速度是前一天的2倍；越发萎靡不振的小老鼠：“日自半”，每天的穿墙速度是前一天的1/2。好在啊，单独的一天中，速度是相对固定不变的。或者说，最后一天总是可以套用“相遇问题”的解题模型的。您一定会懂得，您也一定会不以为然的……

……

……

……

……

……

……

如果，将墙厚改为：100尺、500尺、1000尺……还要依样葫芦地去解吗？

或许一种不失为好的方法就是“猛烈地喷一下”：5尺之墙已令孤陋闻所未闻、匪夷所思，何堪如此倍增之！

故而下面的讨论小朋友们可以无视了，一些内容涉及到了高中“求等比数列前n项和的公式”，虽然我仍以小学数学的视角展开，但并不能于小学阶段自圆其说……本文，继续地期待小朋友们的成长！

将大老鼠每日穿墙的速度罗列出来，就得到我们熟悉的数列：

如果您没有忘记数学活动“打电话”的结论的话，就知道：这个以2倍递增（即等比数列的公比是2）的数列的前n项的和是：

1＋2＋4＋8＋16＋32＋64＋……＝2^n－1

（2^n表示2的n次方。n表示项数，其中：1为第1项，2为第2项，4为第3项，8为第4项……余类推。这个前n项的求和公式可以轻松求出任意指定n项的和。需要注意的是：指数为项数减一，即：n－1）

打电话“倍增传递”方式示意图

同样，将小老鼠每日穿墙的速度罗列出来，可以得到以下数列：

这个数列是递减的一个数列，因为公比是：1/2＜1。相关内容在六年级数学上册《数学广角——数与形》中有所学习：

人教版六年级数学上册108页

用算式展开是：

1＋1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋……

＝（2－1）＋（1－1/2）＋（1/2－1/4）＋（1/4－1/8）＋（1/8－1/16）＋……

＝2－1＋1－1/2＋1/2－1/4＋1/4－1/8＋1/8－1/16＋……

＝2－2^（1－n）

（1/2表示分数二分之一，其余同。由于分数个子太高了，这是将其折叠的写法：分子/分母。就好比当您不喜欢高个子的朋友站在您身边突显您的“精干”时，您可以招呼您的朋友坐下来，呵呵）

您完全不必理会最后得出的公式，您只需知道：小老鼠穿墙的极限距离是2尺。这个算式相比六年级数学教材上的内容，多了一个1，所以无限情况下的结果是2。天啦！穿墙主要要靠大老鼠啊，小老鼠第一天的表现完全是“骗”了大老鼠啊，嘻嘻。

有了这两个求和公式（大老鼠：2^n－1；小老鼠：2－2^（1－n）），我们就可以解决任意厚度的墙的问题了……

以墙厚1000尺为例：

首先需求出使得：

的最小整数解n，也就是穿墙的整数天数。

这个怎么计算？严格来说要算“以2为底999的对数”，小朋友们就别管这是个啥玩意了，只需对着上面的数列查一查就知道了，由于：

可知，这个最小整数解n=9天。

此刻，它们分别穿了：

大老鼠：2^9－1＝512－1＝511（尺）

小老鼠：2－2^（1－9）＝2－1/256＝511/256（尺）

剩余：1000－511－511/256＝487　1/256（尺）＝124673/256（尺）

然后算出第10天的穿墙速度分别为：

大老鼠：2^9＝512（尺）

大老鼠：2^（－9）＝1/512（尺）

接着套用“相遇问题”的求解模型（相遇时间＝路程和÷速度和）得：

124673/256÷（512＋1/512）

＝124673/256×（512/262145）

＝249346/262145

≈0.951176（天）

第10天穿墙的相遇时间约折合：22时49分42秒

最后，它们一共穿了：

大老鼠：511＋512×（249346/262145）≈998.002048（尺）

小老鼠：511/256＋1/512×（249346/262145）≈1.997952（尺）

即：

大约9天22时49分42秒后两鼠相遇，相遇时大老鼠穿墙约998.002048尺，小老鼠穿墙约1.997952尺。

也许到了这一步，您才会真正地发现此题的“无聊”：何不以小老鼠洞墙之极限距离2尺大约地替代，何劳如此费心！

两个数列，一个以2倍扩大，无限增大，和值发散于无穷；一个以2倍缩小，无限减小，和值收敛于2。这或许才是这道古代数学趣题要阐释的核心数学道理。至于“相遇问题”的模型，则让此题有了一些“亲切”的面容，小学生也可以参与其中了。好的题目，就应当不是为了卖弄的，而是让不同的人都有参与的可能，并获得不同的收获的！

就让我们在感喟古人的智慧和古人带给我们的乐趣的余味中说声：再会。返回搜狐，查看更多