皮尔逊相关系数的几何解释

皮尔逊相关系数的几何解释如下：

皮尔逊相关系数本质上是对数据标准化处理后的协方差。

呃，

这个大学概率论课本上就有很清晰的解释。

这里

copy

一下。

定义：若

(X,Y)

是一个二维随机变量，则称

E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

为

随机变量

X

与

Y

的协方差，记为

Cov(X,Y)

。即

Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 

性质：

Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),

（

a,b

是常数）

相关系数

协方差可以在一定程度上反映

X

与

Y

相互间的联系，

但它还受

X

与

Y

本身数值大小的影响，譬如说，令

X

与

Y

各自增大

k

倍，即

X1=kX,Y1=kY

，这时

X1

与

Y1

间的相互联系应该还是一样的，可是

反映这种联系的协方差却增大了

k

的平方倍，即

Cov(X1,Y1)=k2Cov(X,Y) 

为了克服这一点，我们引入相关系数的定义：

定义：若

(X,Y)

是一个二维随机变量，则称

 Cov(X,Y)D(X)D(Y) 

为

随机变量

X

与

Y

的相关系数

(

即皮尔逊相关系数

)

，记为

ρ

X,Y 

。即

ρ

XY=Cov(X,Y)D(X)D(Y) 

由协方差的性质，我们可以看出，相关系数就是标准化随机变

量

 X

−

E(X)D(X) 

与

 Y

−

E(Y)D(Y) 

的协方差。

ρ

XY 

与

 Cov(X,Y) 

只差一

个常数倍

 1D(X)D(Y) 

，即

令

 X1=X

−

E(X)D(X),Y1=Y

−

E(Y)D(Y)