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相关系数(Correlation coefficient)

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相关系数(Correlation coefficient)

2024-07-10 22:52| 来源: 网络整理| 查看: 265

本文转自：http://wiki.mbalib.com/wiki/相关系数什么是相关系数

　　相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无法确切地表明两个变量之间相关的程度。

　　著名统计学家卡尔·皮尔逊设计了统计指标——相关系数。相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。

　　依据相关现象之间的不同特征，其统计指标的名称有所不同。如将反映两变量间线性相关关系的统计指标称为相关系数（相关系数的平方称为判定系数）；将反映两变量间曲线相关关系的统计指标称为非线性相关系数、非线性判定系数；将反映多元线性相关关系的统计指标称为复相关系数、复判定系数等。

相关系数的几种定义

　　相关关系是一种非确定性的关系，相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。由于研究对象的不同，相关系数有如下几种定义方式。

　　简单相关系数：又叫相关系数或线性相关系数，一般用字母P 表示，是用来度量变量间的线性关系的量。

　　复相关系数：又叫多重相关系数。复相关是指因变量与多个自变量之间的相关关系。例如，某种商品的季节性需求量与其价格水平、职工收入水平等现象之间呈现复相关关系。

　　典型相关系数：是先对原来各组变量进行主成分分析，得到新的线性关系的综合指标，再通过综合指标之间的线性相关系数来研究原各组变量间相关关系。

相关系数的性质[1]

　　(1) $|\rho_{XY}| \le 1$ ；

　　(2)定理： | ρXY | = 1的充要条件是，存在常数a，b，使得 $\rho \left\{ Y=a+bX \right\}=1$ ；

　　相关系数ρXY取值在-1到1之问，ρXY = 0时，

　　称X,Y不相关； | ρXY | = 1时，称X,Y完全相关，此时，X,Y之间具有线性函数关系； | ρXY | < 1时，X的变动引起Y的部分变动，ρXY的绝对值越大，X的变动引起Y的变动就越大， | ρXY | > 0.8时称为高度相关，当 $\rho^2_{XY}0.09$ ，即 | ρXY | < 0.3时，称为低度相关，其他为中度相关。

　　(3)推论：若Y=a+bX，则有

　　 $\rho_{XY}=\begin{cases} 1, & b0 \\ 0, & b=0 \\ -1, & b0 \end{cases}$

　　证明：令E(X) = μ，D(X) = σ2

　　则E(Y) = bμ + a，D(Y) =b2σ2

　　E(XY) = E(aX + bX2) = aμ + b(σ2 + μ2)

　　Cov(X,Y) = E(XY) −E(X)E(Y) = bσ2

　　若b≠0，则 $\rho=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}}= \frac{b\sigma^2}{\sigma |b| \sigma}=\begin{cases} 1, & b0 \\ -1, & b0 \end{cases}$

　　若b=0，则ρXY = 0。

相关系数的计算方法

　　相关系数的公式如下:[2]

　　 $r=\frac{\sigma{xy}}{\sigma_x\sigma_y}$ 　　(1)

　　 $\sigma{xy}=\sigma^2{xy}=\frac{\sum(x-\overline{x})(y-\overline{y})}{n}$

　　 $\sigma_x=\sqrt{\frac{\sum(x-\overline{x})^2}{n}}$

　　 $\sigma_y=\sqrt{\frac{\sum(y-\overline{y}^2)}{n}}$

　　 $r=\frac{\sum(x-\overline{x})(y-\overline{y})}{\sqrt{\sum(x-\overline{x})^2\sum(y-\overline{y})^2}}$ 　　(2)

　　 $=\frac{n\sum xy-\sum x\sum y}{\sqrt{n\sum x^2-(\sum x)^2}\cdot\sqrt{n\sum y^2-(\sum y)^2}}$ 　　(3)

　　 $=\frac{n^2[\frac{\sum xy}{n}-]}{\frac{\sum x}{n}-\frac{\sum y}{n}}{\sqrt{n^2[\frac{\sum x^2}{n}-(\frac{\sum x}{n})^2]\cdot\sqrt n^2[\frac{\sum y^2}{n}-(\frac{\sum y}{n})^2]}}$ 　　(4)

　　 $=\frac{\overline{xy}-\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{\sum\overline{x^2}-(\overline{x})^2}\cdot\sqrt{\sum\overline{y^2}-(\overline{y})^2}}$ 　　(5)

　　 $L_{xx}=\sum(x-\overline{x})^2=\sum x^2-\frac{(\sum x)^2}{n}$

　　 $L_{yy}\sum(y-\overline{y})^2=\sum y^2-\frac{(\sum y)^2}{n}$

　　 $L_{xy}=\sum(x-\overline{x})(y-\overline{y})=\sum xy-\frac{\sum x \sum y}{n}$

　　 $r=\frac{L_{xy}}{\sqrt{L_{xx}L_{yy}}}$

　　相关系数的值介于–1与+1之间，即–1≤r≤+1。其性质如下：

当r>0时，表示两变量正相关，r

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