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相似三角形的判定教学反思

人教版数学九年级下册第27章《相似》27.2.1相似三角形的判定第1课时，建立在前一小节“图形的相似”基础上，学生在课前应该了解了相似的概念，以及相似多边形定义，在学习本课之前，对于成比例线段也有一定理解，因此教学目标是类比全等三角形的判定，探索相似三角形的判定方法，即利用平行线判定相似；

平行线分线段成比例定理，通常也称相似判定的预备定理，在本节课中非常重要，也是本节课重点之一，而利用预备定理证明相似三角形的判定定理则是本节课难点。

一、学习方法迁移

之所以要把相似三角形的判定与全等三角形的判定进行类比，是因为我们在探索三角形全等的判定方法时，也是经历了由定义出发，三个角对应相等、三条边对应相等的三角形，减配到只需要三个条件即可判断全等；在相似三角形判定中，我们依然是通过前面的定义知道三个角对应相等、三条边对应成比例的三角形，探索如何减配到更少的条件。

事实上在教材一开始，就通过“k=1”这个环节建立了全等和相似间的关系，如下图：

所以这一部分遵循由全等到相似，是符合教材要求的教学思路。

当然方法的迁移是否成功，并不完全取决于本节课，如果在学习三角形全等的时候，对概念或定理的理解不透彻，则方法的迁移便没有了源头，那这个环节便会落空。

所以说，在八年级学习全等三角形判定的时候，我们究竟是教的解法还是方法，此处一试便知。

二、为什么要从平行线开始探究？

由方法迁移讲到平行线分线段成比例，这个过渡非常突兀，至少在我听过的公开课，或自已的课堂上，总感觉没有任何关联就直接开始探究平行线与两条截线的问题，但事实上，平行在相似三角形判定前是有先兆的。

这一切得从学生画图开始，我们在前面给学生的展示相似图形的时候，有意无意地将这些图形“平移式”摆放，这从视觉上就得到了对应边是平行线，因此隐约感觉这二者间存在关系。

在第29页探究中，学生作图非常有必要，因为涉及到后面的测量与计算，不同的学生作平行线间距不会相同，更具一般性。

按七年级学习平行线的“三线八角”方法，规定三条平行线被两条直线所截，则直线l1和直线l2是截线，用不同颜色标注，让学生先观察在这两条截线上，三条平行线构造了几个交点，进一步观察在每一条截线上，这些交点构成了几条线段。

如果我们用左、右截线分别代表直线l1和l2，用图中的位置来命名，则得到了左上线段AB、左下线段BC、左全线段AC、右上线段DE、右下线段EF、右全线段DF总共6条线段。

引导学生观察它们的对应关系，自然就有AB与DE、BC与EF、AC与DF为三组对应线段。在左截线上先测量一组线段AB、BC，计算它们的比值，再在右截线上测量另一组线段DE、EF，计算它们的比值，由于学生测量可能存在误差，如果贸然发问，比值相等吗？极有可能得到不同的答案，所以不急着去公布结果，而是在学生测量并计算完毕之后，用更精确的方式——几何画板来进行测量与计算，从而让学生认知到自已的测量是有误差的，应该关注误差背后的真相。

由于每个学生作图的平行线间距不同，因此小组内或同桌相互交流一下结果，即可达到“任意平移l5”的目的。

探究中的最后一个问题，其实不再需要测量了，利用好第一次测量的结果，用推导的形式，可能更多一点数学味道。至此，平行线分线段成比例定理基本成型，教材在30页给出了归纳文字，如下图：

我们在规范书写时，也可以让学生养成把左截线上的线段写等号左边，右截线上的线段写在等号右边，从而更强化“对应”的理解。总体来讲，我们可以得到左上：左下=右上：右下，左上：左全=右上：右全，左下：左全=右下：右全三类比例线段。如果考虑到比例性质，交换比例内项、外项，事实上得到的比例式会更多。

我们将两条截线中的一条，例如右截线，进行平移，当它经过A点或B点时，又得到两个新的图形，如下图：

这就和教材上30页的图27.2-3对应上了，如下图：

在平移过程中，很容易理解其中存在的平行四边形，因此线段DE=AG=IB，EF=GH=BJ，DF=AH=IJ，再去理解教材上的两个图，就简单多了。

但始终提醒学生，我们目前得到的成比例线段，均存在于截线上，不在平行线上，给后面定理的证明埋个伏笔。

三、由平行线到三角形

将多余的线条擦掉，就得到相似三角形的两个基本图形，A型和X型，如下图：

此时截线为AB和AC或它们的反向延长线。

选择其中一个图进行后续证明，即教材上的思考，如下图：

教材关于这个思考的提示语其实非常重要，按这个提示的思路也是这个问题的最优解，没有之一，若是不管不顾，确实浪费。

首先是直觉，也就是几何直观，去发现△ADE∽△ABC，然后通过相似的定义去证明，即证明6个条件，三个角对应相等，三条边对应成比例，这显然很麻烦。

注意教材上的引导“除DE外，AE、AC、BC都在△ABC的边上，因此只需要将DE平移到BC边上去，使得BF=DE”，如果继续追问，为什么要将DE平移到BC边上呢？

我们从这一点出发深入探究，前面反复强调过，成比例线段均位于两条截线上，那么在上图中，若以AB、AC为截线，那是无论也得不到DE这条线段的，所以我们需要转换，让DE和BC中的某一条成为截线，用新的平行线去截它们，这就有了构造新平行线的需求，从哪里作，过点D或过点E均可以，并不拘泥于教材。

以教材图为例，过点E作EF∥BC，现在截线变成了BC和AC，在选择成比例线段时，需要留意原有条件，尽可能让关联更顺畅，已有成比例线段是AD:AB=AE:AC，对于等号右边的AE:AC，我们在新的平行线EF∥AB所截出的线段中，可以找到AE和AC的对应线段，分别是BF和BC，于是可得AE:AC=BF:BC，最后利用平行四边形BDEF转换BF=DE即可。

于是得到了本节课的判定相似的第一个定理：

平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；

顺便拓展一下，平行于三角形一边的直线和其他两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。

四、对学生的评价及反馈

在突破本节难点——定理的证明之后，对于截线的强调在学生理解为什么要作平行线起到了很大作用，前面的铺垫快不得，学生在经历前面的探究之后，若能理解“左上左下左全，对应的是，右上右下右全”则在定理证明中，将图形看作是整体向左旋转的“A”型，则立刻采用上述方式去寻找成比例线段，找到解决方法更快。

在新课标和教材中，淡化了对于比例式的变形要求，虽然没有刻意去讲，但这些比例变换本质上也是分式性质、等式性质的延伸，理解起来并不困难，在后续教学过程中，少数学生能自行领悟，不宜提出过高要求。

课堂练习选择教材上的两道题，如下图：

第1题可以直接用本课前面的预备定理，AG+GD=AD，它的对应线段是BC，同时DF的对应线段是CE，over；

第2题是对判定定理的直接运用，在学生脑子里建立“平行”与“相似”间的强关联，并计算相似比。

相似三角形的判定定理一，是后面所有判定定理的出发点，这也是我们在探究相似三角形判定方法过程中，最称手的工具，用它能发现更多判定相似的新工具，这和我们在学习全等三角形判定时，采用的解决问题的思路如出一辙。当然，按教材要求，后面的判定定理并不要求学生去证明，但至少要懂得证明它的思路，知道该如何去想，即知道解决问题的方法。

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