最小二乘法求回归直线方程的推导过程 |
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原文链接:https://blog.csdn.net/MarsJohn/article/details/54911788 在数据的统计分析中,数据之间即变量x与Y之间的相关性研究非常重要,通过在直角坐标系中做散点图的方式我们会发现很多统计数据近似一条直线,它们之间或者正相关或者负相关。虽然这些数据是离散的,不是连续的,我们无法得到一个确定的描述这种相关性的函数方程,但既然在直角坐标系中数据分布接近一条直线,那么我们就可以通过画直线的方式得到一个近似的描述这种关系的直线方程。当然,从前面的描述中不难看出,所有数据都分布在一条直线附近,因此这样的直线可以画出很多条,而我们希望找出其中的一条,能够最好地反映变量之间的关系。换言之,我们要找出一条直线,使这条直线“最贴近”已知的数据点,设此直线方程为:
其中式叫做Y对x的回归直线方程,b叫做回归系数。要想确定回归直线方程,我们只需确定a与回归系数b即可。 设x,Y的一组观察值为: i = 1,2,3……n 其回归直线方程为:
一个很自然的想法是把各个离差加起来作为总离差。可是,由于离差有正有负,直接相加会互相抵消,如此就无法反映这些数据的贴近程度,即这个总离差不能用n个离差之和来表示,见下图:
当然,我们肯定不能满足于直接得到公式,我们只有理解这个公式怎么来的才能记住它,用好它,因此给出上面两个公式的推导过程更加重要。在给出上述公式的推导过程之前,我们先给出推导过程中用到的两个关键变形公式的推导过程。首先是第一个公式:
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